《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

一、正弦函数、余弦函数的单调性
情境：观察下面的正弦函数和余弦函数的图象。

【思考】
(1)正弦函数在区间$[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
(2)余弦函数在区间$[-\pi,\pi]$上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
二、正弦函数、余弦函数的最值
情境：观察前面正弦函数、余弦函数的图象。
【思考】
(1)在区间$[0,2\pi]$上，当自变量$x$分别取什么值时，正弦函数分别取得最大值和最小值？推广到整个定义域呢？
(2)在区间$[0,2\pi]$上，当自变量$x$分别取什么值时，余弦函数分别取得最大值和最小值？推广到整个定义域呢？

答案： 【思考】
(1)提示：观察图象可知，当$x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$时，曲线逐渐上升，是增函数，$\sin x$的值由-1增大到1；当$x\in\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$时，曲线逐渐下降，是减函数，$\sin x$的值由1减小到-1.推广到整个定义域：正弦函数在每一个闭区间$\left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right](k\in\mathbf{Z})$上都单调递增，函数值从-1增大到1；在每一个闭区间$\left[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right](k\in\mathbf{Z})$上都单调递减，函数值从1减小到-1.
(2)提示：观察图象可知，当$x\in[-\pi,0]$时，曲线逐渐上升，是增函数，$\cos x$的值由-1增大到1；当$x\in[0,\pi]$时，曲线逐渐下降，是减函数，$\cos x$的值由1减小到-1.推广到整个定义域：余弦函数在每一个闭区间$[2k\pi-\pi,2k\pi](k\in\mathbf{Z})$上都单调递增，函数值从-1增大到1；在每一个闭区间$[2k\pi,2k\pi+\pi](k\in\mathbf{Z})$上都单调递减，函数值从1减小到-1.
二、正弦函数、余弦函数的最值
【思考】
(1)提示：在区间$[0,2\pi]$上，当自变量$x=\frac{\pi}{2}$时，正弦函数取得最大值1；当自变量$x=\frac{3\pi}{2}$时，正弦函数取得最小值-1.推广到整个定义域：当$x=\frac{\pi}{2}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$时，正弦函数取得最大值1；当$x=-\frac{3\pi}{2}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$时，正弦函数取得最小值-1.
(2)提示：在区间$[0,2\pi]$上，当自变量x取0或$2\pi$时，余弦函数取得最大值1；当自变量x取$\pi$时，余弦函数取得最小值-1.推广到整个定义域：当$x=2k\pi(k\in\mathbf{Z})$时，余弦函数取得最大值1；当$x=2k\pi+\pi(k\in\mathbf{Z})$时，余弦函数取得最小值-1.

【例1】
(1)若函数$y = \cos x$在区间$[-\pi,a]$上为增函数，则$a$的取值范围是______。
(2)求函数$y = 2\sin(\frac{\pi}{4}-x)$的单调递增区间。
【自主解答】
【规律方法】
求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧
(1) 数形结合：结合正弦函数、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间。
(2) 整体代换：确定函数$y = A\sin(\omega x+\varphi)$或$y = A\cos(\omega x+\varphi)(A＞0,\omega＞0)$的单调区间的方法，采用“换元法”整体代换，将$\omega x+\varphi$看作一个整体，可令“$z=\omega x+\varphi$”，即通过求$y = A\sin z$或$y = A\cos z$的单调区间求出函数的单调区间。若$\omega＜0$，则可利用诱导公式将$x$的系数转化为正数。
易错提醒：当$A＜0$或$\omega＜0$时，要注意原函数的单调性与函数$y = \sin x$或$y = \cos x$的单调性的关系。
【过程评价】
1. 变式练 将本例第(2)小题变为：求函数$y = 2\cos(\frac{\pi}{4}-x)$的单调递增区间。

答案： $(1)(-\pi,0]$
(2)解：单调递增区间是$\left[\frac{3\pi}{4}+2k\pi,\frac{7\pi}{4}+2k\pi\right](k\in\mathbf{Z}).$
1.解：单调递增区间是$\left[2k\pi+\frac{5\pi}{4},2k\pi+\frac{9\pi}{4}\right](k\in\mathbf{Z}).$