《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

1. 若 $0 ＜ x ＜ \frac{1}{4}$，则 $x(1 - 4x)$ 取最大值时 $x$ 的值是( )

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{10}$

答案： 1.C

2. 若对任意的正数 $a$，$b$ 满足 $a + 3b - 1 = 0$，则 $\frac{3}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为( )

A.6
B.8
C.12
D.24

答案： 2.C

【例2】
若当 $x ＞ 1$ 时，不等式 $x + \frac{1}{x - 1} \geq a$ 恒成立，则实数 $a$ 的最大值为______.

答案： 【例2】解：由$x + \frac{1}{x - 1} \geqslant a$恒成立，得$x + \frac{1}{x - 1}$的最小值大于或等于$a$．
因为$x ＞ 1$，即$x - 1 ＞ 0$，
所以$x + \frac{1}{x - 1} = x - 1 + \frac{1}{x - 1} + 1 \geqslant 2\sqrt{(x - 1) \cdot \frac{1}{x - 1}} + 1 = 3$，
当且仅当$x - 1 = \frac{1}{x - 1}$，即$x = 2$时，等号成立.
所以$a \leqslant 3$，即$a$的最大值为$3$.

3. 若两个正数 $x$，$y$ 满足 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$，并且 $x + 2y ＞ 2m - 1$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是______.

答案： 3.$m ＜ \frac{9}{2}$

【例3】
某单位用木料制作的框架示意图如图所示，框架的下部是边长分别为 $x$，$y$（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为 $8m^2$，则 $x$，$y$ 分别为多少时用料最省？

答案： 【例3】解：当$x$为$(8 - 4\sqrt{2})m$，$y$为$2\sqrt{2} m$时，用料最省.

4. 做一个面积为 $1m^2$，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的长度是($\sqrt{2} \approx 1.414$)( )

A.$4.6m$
B.$4.8m$
C.$5m$
D.$5.2m$

答案： 4.C