《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

4. 若 $ \varnothing \subsetneqq \{x | x^2 - x + a = 0\} $，则实数 $ a $ 的取值范围是( )

A.$ a ＜ \frac{1}{4} $
B.$ a \leq \frac{1}{4} $
C.$ a \geq \frac{1}{4} $
D.$ a ＞ \frac{1}{4} $

答案： 4.B

5. 集合 $ M = \{x \in \mathbf{N} | -2 \leq x \leq 0\} $ 的子集的个数为________.

答案： 5.2

6. 已知集合 $ A = \{x | x ＜ 2, x \in \mathbf{N}\} $，$ B = \{x | -2 ＜ x ＜ 2 $，且 $ x \in \mathbf{Z}\} $.
(1)写出集合 $ A $ 的子集；
(2)写出集合 $ B $ 的真子集.

答案： 6.解：
(1)集合A的子集为∅,{0},{1},{0,1}.
(2)集合B的真子集为∅,{-1},{0},
{1},{0,1},{-1,0},{-1,1}.

7. 设 $ A = \{x | 2 \leq x \leq 4\} $，$ B = \{x | 2a \leq x \leq a + 3\} $，若 $ B \subsetneqq A $，则实数 $ a $ 的取值范围是（ ）

答案： @@7.D

8. 多选题 已知集合 $ A = \{1, 2\} $，$ B = \{0, 1, 2, 3, 4\} $，集合 $ C $ 满足 $ A \subsetneqq C \subseteq B $，则（ ）
A.$ 1 \in C $，$ 2 \in C $
B.集合 $ C $ 可以为 $ \{1, 2\} $
C.集合 $ C $ 的个数为 $ 7 $
D.集合 $ C $ 的个数为 $ 8 $

答案： 8.AC

9. 新定义题 若 $ x \in A $，则 $ \frac{1}{x} \in A $，就称 $ A $ 是伙伴关系集合，集合 $ M = \{-1, 0, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1, 2, 3, 4\} $ 的所有非空子集中，是伙伴关系集合的个数为（ ）
A.15
B.16
C.$ 2^8 $
D.$ 2^5 $

答案： 9.A

10. 设集合 $ A = \{x, y\} $，$ B = \{0, x^2\} $，若 $ A = B $，则 $ x = $________，$ y = $________.

答案： 10.1 0

11. 若集合 $ A = \{x | x = \frac{1}{9}(2k + 1), k \in \mathbf{Z}\} $，$ B = \{x | x = \frac{4}{9}k \pm \frac{1}{9}, k \in \mathbf{Z}\} $，则集合 $ A $，$ B $ 之间的关系为________.

答案： 11.A = B

12. 已知 $ A = \{x | -2 \leq x \leq 5\} $，$ B = \{x | a + 1 \leq x \leq 2a - 1\} $.
（1）若 $ A \supseteq B $，求实数 $ a $ 的取值范围.
（2）是否存在实数 $ a $ 使得 $ A = B $？若存在，求出 $ a $ 的值；若不存在，说明理由.

答案： 1. （1）
当$B = \varnothing$时：
满足$A\supseteq B$，此时$a + 1＞2a - 1$。
解不等式$a + 1＞2a - 1$，移项可得$2a-a＜1 + 1$，即$a＜2$。
当$B\neq\varnothing$时：
要使$A\supseteq B$，则$\begin{cases}a + 1\leq2a - 1\\a + 1\geq - 2\\2a - 1\leq5\end{cases}$。
解$a + 1\leq2a - 1$，移项得$2a-a\geq1 + 1$，即$a\geq2$。
解$a + 1\geq - 2$，移项得$a\geq-2 - 1$，即$a\geq-3$。
解$2a - 1\leq5$，移项得$2a\leq5 + 1$，即$2a\leq6$，两边同时除以$2$得$a\leq3$。
综合可得$2\leq a\leq3$。
综上，$a$的取值范围是$a\leq3$。
2. （2）
若$A = B$，则$\begin{cases}a + 1=-2\\2a - 1 = 5\end{cases}$。
解$a + 1=-2$，得$a=-3$。
解$2a - 1 = 5$，移项得$2a=5 + 1$，即$2a=6$，$a = 3$。
因为$-3\neq3$，所以方程组无解，即不存在实数$a$使得$A = B$。
综上，（1）$a\leq3$；（2）不存在。