《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

一、弧度制
情境：同桌分别作半径不同的圆，在圆上任作一条半径 $ OA $，并借助绳子设法在圆上截取 $ \overset{\frown}{AB} $ 的长度等于半径 $ OA $，再连接半径 $ OB $.
【思考】
(1) 测量 $ \angle AOB $，大约是多少度？
(2) 若圆心角分别为 $ \alpha = 30^{\circ} $，$ \alpha = 60^{\circ} $，当半径 $ r $ 分别为 $ 1 $，$ 2 $ 时，圆心角 $ \alpha $ 所对的弧长 $ l $ 与半径 $ r $ 的比值 $ \frac{l}{r} $ 分别是多少？比值 $ \frac{l}{r} $ 与所取的圆的半径的大小是否有关？
(3) 在大小不同的圆中，长为 $ 1 $ 的弧所对的圆心角相等吗？
(4) 角的弧度数怎样计算？

答案： $(1)$
大约是$57^{\circ}$。
$(2)$
- 当$\alpha = 30^{\circ}=\frac{\pi}{6}$，$r = 1$时：
根据弧长公式$l=\alpha× r$（这里$\alpha$需化为弧度制），则$l=\frac{\pi}{6}×1=\frac{\pi}{6}$，$\frac{l}{r}=\frac{\frac{\pi}{6}}{1}=\frac{\pi}{6}$。
- 当$\alpha = 30^{\circ}=\frac{\pi}{6}$，$r = 2$时：
$l=\frac{\pi}{6}×2=\frac{\pi}{3}$，$\frac{l}{r}=\frac{\frac{\pi}{3}}{2}=\frac{\pi}{6}$。
- 当$\alpha = 60^{\circ}=\frac{\pi}{3}$，$r = 1$时：
$l=\frac{\pi}{3}×1=\frac{\pi}{3}$，$\frac{l}{r}=\frac{\frac{\pi}{3}}{1}=\frac{\pi}{3}$。
- 当$\alpha = 60^{\circ}=\frac{\pi}{3}$，$r = 2$时：
$l=\frac{\pi}{3}×2=\frac{2\pi}{3}$，$\frac{l}{r}=\frac{\frac{2\pi}{3}}{2}=\frac{\pi}{3}$。
所以$\alpha = 30^{\circ}$时，$\frac{l}{r}$分别为$\frac{\pi}{6}$，$\frac{\pi}{6}$；$\alpha = 60^{\circ}$时，$\frac{l}{r}$分别为$\frac{\pi}{3}$，$\frac{\pi}{3}$。比值$\frac{l}{r}$与所取的圆的半径的大小无关。
$(3)$
不相等。因为圆心角$\alpha=\frac{l}{r}$（$l$为弧长，$r$为半径），当$l = 1$，$r$不同时，$\alpha$不同。
$(4)$
角的弧度数$\alpha=\frac{l}{r}$（其中$l$是圆心角$\alpha$所对的弧长，$r$是圆的半径）。

二、角度制与弧度制的换算
【思考】
(1) 怎样进行角度与弧度的互化？
(2) $ 30^{\circ} $，$ 45^{\circ} $，$ 60^{\circ} $，$ 90^{\circ} $ 分别对应多少弧度？

答案： 【思考】
(1)提示：$1^{\circ} = \frac{\pi}{180}$ rad$\approx 0.01745$ rad，$1$ rad = $(\frac{180}{\pi})^{\circ} \approx 57.30^{\circ}$.
(2)提示：$30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$，$45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$，$60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$，$90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$.

三、扇形的面积公式和弧长公式
【思考】
设扇形的半径为 $ R $，弧长为 $ l $，$ \alpha $ 为其圆心角，面积为 $ S $，当 $ \alpha $ 分别取度数和弧度数时，扇形的弧长和面积公式分别怎样表示？

答案： 【思考】
提示：当$\alpha$为度数时，$l = \frac{\alpha\pi R}{180}$，$S = \frac{\alpha\pi R^{2}}{360}$；
当$\alpha$为弧度数时，$l = \alpha R$，$S = \frac{1}{2}lR = \frac{1}{2}\alpha R^{2}$.