《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

【例1】(1)若关于$x$的一元二次不等式$ax^{2}+2ax + 1＞0$的解集为$\mathbf{R}$，则实数$a$的取值范围是______。
(2)已知函数$y = 3ax^{2}+2ax$，若对任意的$x\in\mathbf{R}$，$y＜1$恒成立，则实数$a$的取值范围为______。
【自主解答】
【规律方法】
一元二次不等式恒成立问题的解题方法
(1)判别式法：
①$ax^{2}+bx + c＞0(a\neq0)$恒成立$\Leftrightarrow\begin{cases}a＞0,\\\Delta＜0.\end{cases}$
②$ax^{2}+bx + c＜0(a\neq0)$恒成立$\Leftrightarrow\begin{cases}a＜0,\\\Delta＜0.\end{cases}$
(2)分离参数法：若不等式中参数的位置便于分离出来，则将参数分离出来，转化为求最值的问题求解。
易错提醒：若不等式或函数中含有参数，要注意对参数分类讨论。
【过程评价】
1. 变式练 将本例第(1)小题的条件改为“若正实数$x$，$y$满

足

$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=1$，且$x+\frac{y}{4}＞a^{2}-3a$恒成立”，则实数$a$的取值范围为______。

答案： 【例$1】(1)0\lt a\lt1 (2)-3\lt a\leq0$
【过程评价】
$1.-1\lt a\lt4$

2. 同类练 若关于$x$的一元二次不等式$2kx^{2}+kx-\frac{3}{8}＜0$对一切实数$x$都成立，则$k$的取值范围为______。

答案： $2.-3\lt k\lt0$

3. 拔高练 正数$a$，$b$满足$\frac{1}{a}+\frac{9}{b}=1$，若关于$x$的不等式$a + b\geqslant -x^{2}+4x + 18 - m$对任意实数$x$恒成立，则实数$m$的取值范围是______。

答案： $3.m\geq6$

【例2】行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离。在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离$s$（单位：$m$）与汽车的车速$v$（单位：$km/h$）满足下列关系：$s=\frac{nv}{100}+\frac{v^{2}}{400}$（$n$为常数，且$n\in\mathbf{N}$），做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中$\begin{cases}6＜s_{1}＜8,\\14＜s_{2}＜17.\end{cases}$
(1)求$n$的值；
(2)要使刹车距离不超过$12.6m$，则行驶的最大速度是多少？

答案：
(1)当$v=40$时，$s_1=\frac{40n}{100}+\frac{40^2}{400}=\frac{2n}{5}+4$，由$6＜s_1＜8$得：
$6＜\frac{2n}{5}+4＜8\Rightarrow 2＜\frac{2n}{5}＜4\Rightarrow 5＜n＜10$。
当$v=70$时，$s_2=\frac{70n}{100}+\frac{70^2}{400}=\frac{7n}{10}+12.25$，由$14＜s_2＜17$得：
$14＜\frac{7n}{10}+12.25＜17\Rightarrow 1.75＜\frac{7n}{10}＜4.75\Rightarrow 2.5＜n＜6.785$。
综上，$5＜n＜6.785$，又$n\in\mathbf{N}$，故$n=6$。
(2)由$n=6$，刹车距离公式为$s=\frac{6v}{100}+\frac{v^2}{400}$。令$s\leq12.6$，得：
$\frac{6v}{100}+\frac{v^2}{400}\leq12.6\Rightarrow v^2+24v-5040\leq0$。
解方程$v^2+24v-5040=0$，判别式$\Delta=24^2+4×5040=20736$，根为$v=\frac{-24\pm144}{2}$。取正根$v=60$。
故不等式解集为$0\leq v\leq60$，最大速度为$60km/h$。
(1)$n=6$；
(2)60 km/h。