《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

【例 3】
（1）幂函数 $ y = x^{-1} $ 的图象与直线 $ y = x $，$ y = 1 $，$ x = 1 $ 将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数 $ y = x^{\frac{1}{2}} $ 的图象经过的“卦限”是（ ）

A.④⑦
B.④⑧
C.③⑧
D.①⑤
（2）若点 $ A(\sqrt{2}, 2) $ 在幂函数 $ f(x) $ 的图象上，点 $ B(-2, \frac{1}{4}) $ 在幂函数 $ g(x) $ 的图象上。
①求 $ f(x) $，$ g(x) $ 的解析式。
②求当 $ x $ 为何值时：(i) $ f(x) ＞ g(x) $；(ii) $ f(x) = g(x) $；(iii) $ f(x) ＜ g(x) $。
【自主解答】
【过程评价】
4. 变式练 若把本例第(1)小题中的函数 $ y = x^{\frac{1}{2}} $ 改为 $ y = x^{2} $，求函数图象所过的“卦限”。

答案：
（1）D
（2）解:①$f(x) = x^{2},g(x) = x^{-2}$.
②令$f(x) = g(x)$，解得$x = \pm 1$.
在同一平面直角坐标系下作出函数$f(x)$和$g(x)$的图象，如图.

由图象可知，$f(x),g(x)$的图象均过点$(1,1)$和$(-1,1)$.
由图象可知，
(i)当$x ＞ 1$或$x ＜ -1$时，$f(x) ＞ g(x)$;
(ii)当$x = 1$或$x = -1$时，$f(x) = g(x)$;
(iii)当$-1 ＜ x ＜ 1$，且$x \neq 0$时，$f(x) ＜ g(x)$.
4.解:幂函数$y = x^{2}$的图象经过“卦限”②⑥.

5. 同类练 幂函数 $ y = x^{m} $ 与 $ y = x^{n} $ 在第一象限内的图象如图所示，则( )


A.$ -1 ＜ n ＜ 0 ＜ m ＜ 1 $
B.$ n ＜ -1 $，$ 0 ＜ m ＜ 1 $
C.$ -1 ＜ n ＜ 0 $，$ m ＞ 1 $
D.$ n ＜ -1 $，$ m ＞ 1 $

答案： 5.B

6. 拔高练 已知幂函数 $ y = x^{3m - 9} (m \in \mathbf{N}^{*}) $ 的图象关于 $ y $ 轴对称，且在区间 $ (0, +\infty) $ 上单调递减，求满足 $ (a + 3)^{-\frac{m}{5}} ＜ (5 - 2a)^{-\frac{m}{5}} $ 的 $ a $ 的取值范围。

答案： 6.解:$\frac{2}{3} ＜ a ＜ \frac{5}{2}$或$a ＜ -3$.