《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

1. 判断下列各题中 $ p $ 是 $ q $ 的什么条件.
(1)$ p $：$ |x| = |y| $，$ q $：$ x = y $；
(2)$ p $：$ \triangle ABC $ 是直角三角形，$ q $：$ \triangle ABC $ 是等腰三角形；
(3)$ p $：四边形的对角线互相平分，$ q $：四边形是矩形.

答案： 1.解:
(1)$p$是$q$的必要不充分条件.
(2)$p$是$q$的既不充分也不必要条件.
(3)$p$是$q$的必要不充分条件.

【例 2】已知 $ ab \neq 0 $，求证：“$ a + b = 1 $”是“$ a^{3} + b^{3} + ab - a^{2} - b^{2} = 0 $”的充要条件.

答案： 【例2】解:
(1)充分性:因为$a+b=1$，所以$a+b-1=0$.
所以$a^{3}+b^{3}+ab-a^{2}-b^{2}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})-(a^{2}-ab+b^{2})=(a+b-1)(a^{2}-ab+b^{2})=0$.
(2)必要性:因为$a^{3}+b^{3}+ab-a^{2}-b^{2}=0$，
所以$(a+b-1)(a^{2}-ab+b^{2})=0$.
又因为$ab\neq0$，所以$a\neq0$，且$b\neq0$，
所以$a^{2}-ab+b^{2}=(a-\frac{b}{2})^{2}+\frac{3}{4}b^{2}＞0$，
所以$a+b-1=0$，即$a+b=1$.
综上可得，当$ab\neq0$时，“$a+b=1$”是“$a^{3}+b^{3}+ab-a^{2}-b^{2}=0$”的充要条件.

2. 已知 $ m \in \mathbf{Z} $，关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} - 4x + 4m = 0 $ 和 $ x^{2} - 4mx + 4m^{2} - 4m - 5 = 0 $.
求证：上述两个方程的根都是整数的充要条件是 $ m = 1 $.

答案： 2.证明:充分性:将$m=1$代入方程$x^{2}-4x+4m=0$，得$x^{2}-4x+4=0$，解得$x=2$，为整数根;
将$m=1$代入方程$x^{2}-4mx+4m^{2}-4m-5=0$，得$x^{2}-4x-5=0$，解得$x=5$或$x=-1$，为整数根，所以$m=1$是两个方程的根都是整数的充分条件.
必要性:若方程$x^{2}-4x+4m=0$有实数根，则$\Delta=16-16m\geqslant0$，即$m\leqslant1$，
若方程$x^{2}-4mx+4m^{2}-4m-5=0$有实数根，则$\Delta=16m+20\geqslant0$，即$m\geqslant-\frac{5}{4}$，
所以上述两个方程都有实数根等价于$-\frac{5}{4}\leqslant m\leqslant1$.
因为$m\in\mathbf{Z}$，所以$m=-1,0,1$.
当$m=-1$时，方程$x^{2}-4x+4m=0$可化为$x^{2}-4x-4=0$，无整数根;
当$m=0$时，方程$x^{2}-4mx+4m^{2}-4m-5=0$可化为$x^{2}-5=0$，无整数根;
当$m=1$时，上述两个方程都有整数根，
所以上述两个方程都有整数根的必要条件是$m=1$.
综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是$m=1$.

【例 3】（1）若集合 $ A = \{ x | a - 2 ＜ x ＜ a + 2 \} $，$ B = \{ x | x \leq - 2 $，或 $ x \geq 4 \} $，则 $ A \cap B = \varnothing $ 的充要条件是（ ）

A.$ 0 \leq a \leq 2 $
B.$ - 2 ＜ a ＜ 2 $
C.$ 0 ＜ a \leq 2 $
D.$ 0 ＜ a ＜ 2 $
（2）求关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2} + 2x + 1 = 0 $ 至少有一个负根的充要条件.

答案： 【例3】
(1)A
(2)解:$a\leqslant1$.

3. (1)“函数 $ y = ax^{2} + bx + c (a \neq 0) $ 的图象与 $ y $ 轴交于负半轴”的充要条件是______； 

答案： 3.
(1)$c＜0$

(2)关于 $ x $ 的方程 $ m^{2}x^{2} - (m + 1)x + 2 = 0 $ 的所有实数根的和为 $ 2 $ 的充要条件是______.

答案：
(2)$m=0$