《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

4. 某农产品从 $ 5 $ 月 $ 1 $ 日起开始上市，通过市场调查，得到该农产品种植成本 $ Q $(单位：元/百千克)与上市时间 $ t $(单位：天)的数据如下表：

(1) 根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述该农产品种植成本 $ Q $ 与上市时间 $ t $ 的变化关系：$ Q = at + b $，$ Q = at^{2} + bt + c $，$ Q = ab^{t} $，$ Q = a\log_{b}t $；
(2) 利用(1)中选取的函数，求该农产品种植成本最低时的上市时间及最低种植成本.

答案： 4.解:
(1)根据题表中提供的数据，知描述该农产品种植成本$Q$与上市时间$t$的变化关系的函数不可能是常数函数，因此用函数$Q = at + b$，$Q = ab^t$，$Q = a\log_bt$中的任何一个进行描述时都应有$a\neq0$，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格中所提供的数据不符，所以应选取函数$Q = at^2 + bt + c$（$a\neq0$，因为当$a = 0$时，该函数为单调函数，与表中提供的数据不符）进行描述.
(2)该农产品种植成本最低时的上市时间为150天，最低种植成本为100元/百千克.

【例 4】某个体商户把开始六个月试销 $ A $，$ B $ 两种商品的逐月投资与所获纯利润整理成下面两个表：
该商户准备下月投入 $ 12 $ 万元经营这两种商品，请你帮助做一个资金投资方案，使该商户能获得最大纯利润，并按你的方案求出该商户下月可获得的最大纯利润（结果保留一位小数）.
【思路探索】
如何确定函数模型？

答案：
解:以投入额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中作出散点图，如图所示(图①为A商品，图②为B商品)，
　　　
　　　
由散点图可以看出，A种商品所获纯利润$y$与投入额$x$之间的变化规律可以用二次函数模型进行拟合.
设$y = a(x - h)^2 + b$（$a\neq0$），取$(4,2)$为最高点，则$y = a(x - 4)^2 + 2$，再把点$(1,0.65)$代入，得$0.65 = a(1 - 4)^2 + 2$，解得$a = -0.15$，所以$y = -0.15(x - 4)^2 + 2$，经检验，符合要求.
B种商品所获纯利润$y$与投入额$x$之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行拟合.
设$y = kx + m$（$k\neq0$），将点$(1,0.25)$和$(4,1)$代入，得$\begin{cases}0.25 = k + m\\1 = 4k + m\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 0.25\\m = 0\end{cases}$，所以$y = 0.25x$，经检验，符合要求.
所以前六个月所获纯利润$y$关于月投入A种商品的金额$x$的函数解析式是$y = -0.15(x - 4)^2 + 2$；前六个月所获纯利润$y$关于月投入B种商品的金额$x$的函数解析式是$y = 0.25x$.
设下月投入A，B两种商品的资金分别为$x_A$（单位:万元），$x_B$（单位:万元），总利润为$W$（单位:万元），那么$\begin{cases}x_A + x_B = 12\\W = y_A + y_B = -0.15(x_A - 4)^2 + 2 + 0.25x_B\end{cases}$，所以$W = -0.15(x_A - \frac{19}{6})^2 + 0.15×(\frac{19}{6})^2 + 2.6$.
当$x_A = \frac{19}{6}\approx3.2$时，$W$取得最大值，约为$4.1$，此时$x_B\approx8.8$，即该商户下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大纯利润，最大纯利润约为4.1万元.

5. 某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据.

现有如下五个模拟函数：
① $ y = 0.58x - 0.16 $；② $ y = 2^{x} - 3.02 $；③ $ y = x^{2} - 5.5x + 8 $；④ $ y = \log_{2}x $；⑤ $ y = (\frac{1}{2})^{x} + 1.74 $.
请从中选择一个模拟函数，使它比较好地反映这些数据的规律，应选______.(填序号)

答案： 5.④