《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

【例1】（1）对数式$\log_{(x - 1)}(x + 2)$中实数$x$的取值范围是________.
（2）将下列对数式化为指数式或将指数式化为对数式.
①$2^{-7} = \frac{1}{128}$；②$\log_{\frac{1}{2}}32 = -5$；
③$\lg 1000 = 3$；④$\ln x = 2$.

答案： 【例1】
(1)(1,2)∪(2,+∞)
(2)解：①由$2^{-7} = \frac{1}{128}，$得$\log_2\frac{1}{128} = -7.$
②由$\log_{\frac{1}{2}}32 = -5，$得$(\frac{1}{2})^{-5} = 32.$
③由$\lg1000 = 3，$得$10^3 = 1000.$
④由$\ln x = 2，$得$e^2 = x.$

1. 对数式$\log_{(x + 1)}(x - 1)^{2}$中$x$的取值范围是________.

答案： 1.\{x|x＞-1，且x≠0，x≠1\}

2. 将下列指数式与对数式进行互化.
(1)$5^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$；
(2)$\log_{\sqrt{2}}4 = 4$；
(3)$\lg 0.001 = -3$.

答案： 2.解：
(1)由$5^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}，$得$\log_5\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{1}{2}.$
(2)由$\log_{\sqrt{2}}4 = 4，$得$(\sqrt{2})^4 = 4.$
(3)由$\lg0.001 = -3，$得$10^{-3} = 0.001.$

【例2】（1）求下列各式中$x$的值.
①$x = \log_{27}\frac{1}{9}$；②$-\log_{8}x = \frac{2}{3}$；
③$\log_{x}8 = -3$；④$\log_{x}27 = \frac{3}{4}$.
（2）求下列各式的值.
①$\log_{\frac{1}{2}}8$；②$-\ln \frac{1}{e^{2}}$.
【思路探索】
（1）在第（1）小题中，对于含有$x$的对数式，如何求$x$的值？
（2）在第（2）小题中，不是等式的形式，如何求值？

答案： 【例2】
【思路探索】
(1)提示：先把对数式化为指数式，再求x的值.
(2)提示：设所求式的值为x，转化为等式的形式.
解：$(1)①x = -\frac{2}{3}. ②x = \frac{1}{4}. ③x = \frac{1}{2}. ④x = 81.$
(2)①设$\log_{\frac{1}{2}}8 = x，$则$(\frac{1}{2})^x = 8，$即$(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^{-3}，$所以x = -3，即$\log_{\frac{1}{2}}8 = -3.$
②设$-\ln\frac{1}{e^2} = x，$则$\ln\frac{1}{e^2} = -x，$即$e^{-x} = \frac{1}{e^2} = e^{-2}，$所以x = 2，即$-\ln\frac{1}{e^2} = 2.$

3. 已知$\log_{x}16 = 2$，则$x$ = ( )

A.$\pm 4$
B.4
C.256
D.2

答案： 3.B

4. 已知$\log_{a}2 = m$，$\log_{a}3 = n$，则$a^{2m - n}$ = ______.

答案： $4.\frac{4}{3}$