《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

6.若关于$x$的函数$y = a^{x}+b - 1(a＞0$，且$a\neq1)$的图象经过第二、第三、第四象限，则一定有 ( )

A.$0＜a＜1$，且$b＞0$
B.$a＞1$，且$b＞0$
C.$0＜a＜1$，且$b＜0$
D.$a＞1$，且$b＜0$

答案： 6.C

7.若$a＞0$，且$a\neq1$，则关于$x$的函数$y = a^{x + 3}-4$的图象一定经过点_______.

答案： 7.$(-3,-3)$

【例4】(1)函数$y = 2^{x^{2}-2x}$的值域为_______.
(2)已知函数$f(x)=a-\frac{1}{2^{x}+1}(x\in\mathbf{R})$.
①用定义证明：不论$a$为何实数，$f(x)$在$\mathbf{R}$上为增函数；
②若$f(x)$为奇函数，求$a$的值；
③在②的条件下，求$f(x)$在区间$[1,5]$上的最小值.

答案：
(1)$[\frac{1}{2},+\infty)$
(2)解:①因为$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，任取$x_{1}＜x_{2}$，则$f(x_{1})-f(x_{2})=a-\frac{1}{2^{x_{1}}+1}-a+\frac{1}{2^{x_{2}}+1}=\frac{2^{x_{1}}-2^{x_{2}}}{(2^{x_{1}}+1)(2^{x_{2}}+1)}$.
因为$x_{1}＜x_{2}$，
所以$2^{x_{1}}-2^{x_{2}}＜0$，$(2^{x_{1}}+1)(2^{x_{2}}+1)＞0$.所以$f(x_{1})-f(x_{2})＜0$，即$f(x_{1})＜f(x_{2})$.
所以不论$a$为何实数，$f(x)$在$\mathbf{R}$上为增函数.
②因为$f(x)$在$\mathbf{R}$上为奇函数，
所以$f(0)=0$，即$a-\frac{1}{2^{0}+1}=0$，
解得$a=\frac{1}{2}$.
③由②知，$f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{x}+1}$，
由①知，$f(x)$在区间$[1,5]$上为增函数，所以$f(x)$在区间$[1,5]$上的最小值为$f(1)$.
因为$f(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，
所以$f(x)$在区间$[1,5]$上的最小值为$\frac{1}{6}$.

8.函数$f(x)=2^{x - 3}(1＜x\leq5)$的值域是 ( )

A.$(0,+\infty)$
B.$(0,4)$
C.$(\frac{1}{4},4]$
D.$(\frac{1}{2},8]$

答案： 8.C

9.已知定义域为$\mathbf{R}$的函数$f(x)=\frac{-2^{x}+b}{2^{x + 1}+2}$是奇函数.
(1)求$b$的值；
(2)判断函数$f(x)$的单调性；
(3)若对任意的$t\in\mathbf{R}$，不等式$f(t^{2}-2t)+f(2t^{2}-k)＜0$恒成立，求$k$的取值范围.

答案： 9.解:
(1)$b=1$.
(2)$f(x)$在$\mathbf{R}$上为减函数.
(3)$k$的取值范围是$(-\infty,-\frac{1}{3})$.