《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

3. 同类练 解不等式$\cos x ＜ 0$，$x \in [0, 2\pi]$。

答案： 3.解:由函数y = cosx的图象(图略)可知,不等式cosx ＜ 0,x∈[0,2π]的解集为($\frac{\pi}{2}$,$\frac{3\pi}{2}$).

4. 拔高练 函数$y = \sqrt{2\cos x + 1}$的定义域是__________。

答案： 4.[2kπ - $\frac{2\pi}{3}$,2kπ + $\frac{2\pi}{3}$],k∈Z

【例3】判断方程$\frac{x}{4} - \cos x = 0$根的个数。

答案： 要判断方程$\frac{x}{4}-\cos x=0$根的个数，即判断函数$f(x)=\frac{x}{4}-\cos x$零点的个数。
分析函数性质
1. 定义域与值域：函数$f(x)=\frac{x}{4}-\cos x$的定义域为$R$。$\cos x\in[-1,1]$，故$-\cos x\in[-1,1]$，而$\frac{x}{4}$在$x\to+\infty$时趋向$+\infty$，在$x\to-\infty$时趋向$-\infty$，因此$f(x)$的值域为$R$。
2. 函数值符号分析
当$x＜0$时：$\frac{x}{4}＜0$，$-\cos x\leq1$，则$f(x)=\frac{x}{4}-\cos x＜0 + 1=1$。取$x=-4$，$f(-4)=\frac{-4}{4}-\cos(-4)=-1-\cos4$，$\cos4\approx-0.6536$，故$f(-4)\approx-1-(-0.6536)=-0.3464＜0$；$x=0$时，$f(0)=0-\cos0=-1＜0$。因此$x＜0$时，$f(x)＜0$恒成立，无零点。
当$x＞0$时：
$x=1$时，$f(1)=\frac{1}{4}-\cos1\approx0.25 - 0.5403=-0.2903＜0$；
$x=2$时，$f(2)=\frac{2}{4}-\cos2\approx0.5 - (-0.4161)=0.9161＞0$。
由函数连续性（直观判断），在$(1,2)$内存在零点。
当$x＞4$时，$\frac{x}{4}＞1$，而$\cos x\leq1$，故$f(x)=\frac{x}{4}-\cos x＞1 - 1=0$，即$x＞4$时$f(x)＞0$恒成立。
当$2＜x\leq4$时，$\frac{x}{4}\in(0.5,1]$，$\cos x\in[-1,1]$，但$\cos x$在$(2,4)$（弧度）时，$x\in(\frac{\pi}{2},\pi+\frac{\pi}{2})$，$\cos x＜0$，故$f(x)=\frac{x}{4}-\cos x＞0.5 - 0=0.5＞0$。
结论
函数$f(x)=\frac{x}{4}-\cos x$仅在$(1,2)$内存在一个零点。
方程$\frac{x}{4}-\cos x=0$根的个数为$1$。
$1$

5. 方程$x^2 - \cos x = 0$的实数根的个数是__________。

答案： 5.2