《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

【例1】
若函数$f(x)=(m^2 + 2m - 2)a^x$是指数函数，则实数$m$的值可以为（ ）

A.$-3$
B.$1$
C.$-1$
D.$-2$

答案： AB

1. 若函数$f(x)=(2a - 3)a^x$是指数函数，则$f(1)=$( )

A.$8$
B.$\frac{3}{2}$
C.$4$
D.$2$

答案： 1.D

2. 若函数$f(x)=(2a - 1)^x$是指数函数，则实数$a$的取值范围是______.

答案： $2.(\frac{1}{2},1)\cup(1,+\infty)$

【例2】
（1）如果指数函数$y = f(x)$的图象经过点$(-2,\frac{1}{4})$，那么$f(4)\cdot f(2)$等于______.
（2）$2023$年某地区人均生产总值为$38852$元，$2024$年为$43992$元；假设增速不变，取自变量$x$为$2023$年后的年数，将该地区人均生产总值用函数$G(x)=C\cdot a^x$来近似地表示，写出此函数的解析式，并依此估计$2031$年该地区人均生产总值（结果保留整数）.
【自主解答】
【规律方法】
利用指数函数的解析式解决问题的关注点
（1）正确求出函数的解析式.
（2）确定所求问题是求函数值，还是求自变量.
（3）准确计算.
【过程评价】
3. 在本例第(1)小题中，若指数函数$y = f(x)$的图象经过点$(3,27)$，则$f(4)\cdot f(2)=$______.

答案： （1）64
(2)解:按假设条件和数据，有$G(0)=C\cdot a^{0}=38852,G(1)=C\cdot a^{1}=43992.$
解得$C = 38852,a=\frac{43992}{C}=\frac{43992}{38852}\approx1.132.$
因此该函数的解析式为$G(x)=38852\cdot1.132^{x}(x\in \mathbf{N}^{*}).$
依此估计出2031年该地区人均生产总值为$G(8)=38852×1.132^{8}\approx104757($元).
3.729

4. 某工厂一种产品的年销售量为$a$，由于其他新产品的出现，估计该产品的市场需求量每年下降$15\%$，则$x$年后年销售量$y$和$x$的函数解析式为______.

答案： $4.y = a\cdot0.85^{x}(x\in \mathbf{N}^{*})$

5. 春天到了，池塘里的荷叶生长开来.已知每一天荷叶覆盖水面的面积是前一天的$2$倍，若荷叶$20$天可以完全覆盖池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的一半时，荷叶已生长了( )

A.$10$天
B.$15$天
C.$19$天
D.$20$天

答案： 5.C