《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

基本不等式
情境：在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图①所示，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上
去像一个风车，代表中国人民热情好客。通过模拟图（如图②所示）能够得到不等式$a^{2} + b^{2} \geq 2ab$。
【思考】
（1）如果$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，我们用$\sqrt{a}$，$\sqrt{b}$分别代替$a$，$b$，可得什么不等关系？
（2）为什么限制$a ＞ 0$，$b ＞ 0$？

答案： 【思考】
(1)提示：用$\sqrt{a},\sqrt{b}$分别代替$a,b$，可得到$\frac{a + b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$．
(2)提示：当$a,b$中至少有一个小于0时，不等式$\frac{a + b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$不成立；当$a,b$中至少有一个等于0时，不等式没有研究价值.故规定$a ＞ 0,b ＞ 0$.

【例1】（1）多选题 下列说法正确的是 （ ）
A.$\forall a$，$b \in \mathbf{R}$，$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$成立
B.若$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，且$a \neq b$，则$a + b ＞ 2\sqrt{ab}$
C.$\forall a$，$b \in \mathbf{R}$，$a^{2} + b^{2} \geq 2ab$
D.若$x ＞ 2$，则$x + \frac{1}{x} \geq 2$中可以取等号

答案： （1）BC

（2）若$0 ＜ a ＜ 1$，$0 ＜ b ＜ 1$，且满足$(1 - a) \cdot b ＞ \frac{1}{4}$，则$a$，$b$的大小关系是 （ ）
A.$a ＞ b$
B.$a \geq b$
C.$a \leq b$
D.$a ＜ b$

答案： （2）D