《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

2. 函数 $ f(x) = \lg x $ 与 $ g(x) = 0.3x - 1 $ 的图象如图所示。

(1)试根据函数的增长差异指出 $ C_1, C_2 $ 分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对 $ f(x), g(x) $ 的大小进行比较)。

答案： 2.解：
(1)$C_{1}$对应的函数为$g(x)=0.3x - 1$，$C_{2}$对应的函数为$f(x)=\lg x$.
(2)当$0＜x＜x_{1}$时，$g(x)＞f(x)$；当$x_{1}＜x＜x_{2}$时，$f(x)＞g(x)$；当$x＞x_{2}$时，$g(x)＞f(x)$；当$x = x_{1}$或$x = x_{2}$时，$f(x)=g(x)$.

【例 3】在科学实验中，实验员往装有水的透明水桶中加入某种染料，以测试染料的扩散效果。观察结果显示染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，$ 1 $ s 后染料扩散的体积是 $ 1 $ cm³，$ 2 $ s 后染料扩散的体积是 $ 3 $ cm³，染料扩散的体积 $ y $（单位：cm³）与时间 $ x $（单位：s）的关系有两种函数模型可供选择：① $ y = m \cdot 3^x $，② $ y = m\log_3 x + b $，其中 $ m, b $ 均为常数。
（1）试判断选择哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；
（2）若染料扩散的体积达到 $ 5 $ cm³，至少需要多少秒？

答案： 【例3】
解：
(1)因为函数$y = m\cdot3^{x}$中，$y$随$x$的增大而增大，且增大的速度越来越快，函数$y = m\log_{3}x + b$中，$y$随$x$的增大而增大，且增大的速度越来越慢，根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选择第二个模型更合适，即$y = m\log_{3}x + b$.
由题意可得$\begin{cases}m\log_{3}1 + b = 1,\\m\log_{3}2 + b = 3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = 1,\\m = 2\log_{2}3,\end{cases}$
所以该模型的函数解析式为$y = 2\log_{2}3\cdot\log_{3}x + 1$，即$y = 2\log_{2}x + 1$.
(2)由
(1)知$y = 2\log_{2}x + 1$，
要使$y\geq5$，则需$2\log_{2}x + 1\geq5$，即$\log_{2}x\geq2$，所以$x\geq4$，
所以至少需要$4\mathrm{s}$.