《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

偶函数和奇函数
情境：① $ f(x) = x^2 - 1 $，② $ f(x) = -\frac{1}{x} $，③ $ f(x) = 2x $ 的图象分别如图所示。
【思考】
（1）各个图象有怎样的对称性？
（2）对于以上三个函数，分别计算 $ f(-x) $，观察对定义域内的每一个 $ x $，$ f(-x) $ 与 $ f(x) $ 有怎样的关系？它们的奇偶性如何？
（3）一般地，若偶函数 $ y = f(x) $ 的图象关于 $ y $ 轴对称，则 $ f(x) $ 与 $ f(-x) $ 有什么关系？反之成立吗？
（4）一般地，若奇函数 $ y = f(x) $ 的图象关于原点对称，则 $ f(x) $ 与 $ f(-x) $ 有什么关系？反之成立吗？

答案：
(1)提示:题图①关于y轴对称;题图②③关于原点对称.
(2)略
(3)提示:若函数y=f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)=f(-x).反之,若f(x)=f(-x),则函数y=f(x)的图象关于y轴对称.
(4)提示:若函数y=f(x)的图象关于原点对称,则f(-x)=-f(x).反之,若f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)的图象关于原点对称.

【例1】判断下列函数的奇偶性：
（1）$ f(x) = \frac{1}{x} - x $；
（2）$ f(x) = |x - 2| + |x + 2| $；
（3）$ f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 2} $；
（4）$ f(x) = \begin{cases} 1 + x, x ＞ 0, \\ 1 - x, x ＜ 0. \end{cases} $
【思路探索】
如何判断函数的奇偶性？

答案： 提示:先判断函数的定义域是否关于原点对称,再计算定义域内f(-x)与f(x)的关系.
解:
(1)奇函数.　
(2)偶函数.
(3)非奇非偶函数.　
(4)偶函数.