《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

8. 某小型贸易公司为了实现年终 $ 10 $ 万元利润的目标，特制定了一个销售人员年终绩效奖励方案：当销售利润为 $ x $ 万元（$ 4 \leq x \leq 10 $）时，奖金 $ y $（单位：万元）随销售利润 $ x $（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过 $ 2 $ 万元，同时不超过销售利润的 $ \frac{1}{2} $，则下列函数中，符合该公司奖励方案的函数模型是（参考数据：$ \lg 2 \approx 0.3, \lg 3 \approx 0.48, \lg 5 \approx 0.7 $）（ ）
A.$ y = 0.4x $
B.$ y = \lg x + 1 $
C.$ y = x^{\frac{1}{2}} $
D.$ y = 1.125^x $

答案： B

9. 某池塘中浮萍蔓延的面积 $ y $（单位：m²）与时间 $ t $（单位：月）的关系：$ y = a^t $ 的图象如图所示，则第 $ 5 $ 个月时浮萍蔓延的面积为____ m²，浮萍的面积从 $ 4 $ m² 蔓延到 $ 12 $ m² 要经过________个月。

答案： 9.32 $\log_{2}3$

10. 某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量 $ y $ 与净化时间 $ t $（单位：月）的近似函数关系：$ y = a^t (t \geq 0, a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）的图象如图所示。

有以下说法：
① 第 $ 4 $ 个月时，剩留量就会低于 $ \frac{1}{5} $；
② 每月减少的有害物质的量都相等；
③ 当剩留量为 $ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8} $ 时，所经过的时间分别是 $ t_1, t_2, t_3 $，则 $ t_1 + t_2 = t_3 $。
其中所有正确说法的序号是________。

答案： 1. 首先求函数$y = a^{t}$的解析式：
已知函数$y = a^{t}(t\geq0,a\gt0,a\neq1)$的图象过点$(2,\frac{4}{9})$，将$t = 2$，$y=\frac{4}{9}$代入$y = a^{t}$中，根据指数函数的运算$y=a^{t}$，当$t = 2$时，$y=a^{2}$，则$a^{2}=\frac{4}{9}$。
因为$a\gt0$，所以$a=\frac{2}{3}$，那么函数解析式为$y = (\frac{2}{3})^{t}(t\geq0)$。
2. 然后判断说法①：
当$t = 4$时，$y = (\frac{2}{3})^{4}=\frac{16}{81}$。
因为$\frac{16}{81}\lt\frac{1}{5}=\frac{16}{80}$，所以第$4$个月时，剩留量就会低于$\frac{1}{5}$，故①正确。
3. 接着判断说法②：
当$t = 1$时，$y_1=\frac{2}{3}$，减少量为$1 - \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$；
当$t = 2$时，$y_2=\frac{4}{9}$，减少量为$\frac{2}{3}-\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$。
由于$\frac{1}{3}\neq\frac{2}{9}$，所以每月减少的有害物质的量不相等，故②错误。
4. 最后判断说法③：
当$y=\frac{1}{2}$时，$(\frac{2}{3})^{t_1}=\frac{1}{2}$，根据对数的定义$t_1=\log_{\frac{2}{3}}\frac{1}{2}$；
当$y = \frac{1}{4}$时，$(\frac{2}{3})^{t_2}=\frac{1}{4}$，则$t_2=\log_{\frac{2}{3}}\frac{1}{4}$；
当$y=\frac{1}{8}$时，$(\frac{2}{3})^{t_3}=\frac{1}{8}$，则$t_3=\log_{\frac{2}{3}}\frac{1}{8}$。
根据对数运算法则$\log_{a}M+\log_{a}N=\log_{a}(M× N)$（$a\gt0,a\neq1,M\gt0,N\gt0$），$t_1 + t_2=\log_{\frac{2}{3}}\frac{1}{2}+\log_{\frac{2}{3}}\frac{1}{4}=\log_{\frac{2}{3}}(\frac{1}{2}×\frac{1}{4})=\log_{\frac{2}{3}}\frac{1}{8}=t_3$，故③正确。
综上，正确说法的序号是①③。

11. 有甲、乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同。甲中心 $ 5 $ 元每小时；乙中心按月计算，一个月中 $ 30 $ h 以内（含 $ 30 $ h）$ 90 $ 元，超过 $ 30 $ h 的部分 $ 2 $ 元每小时。某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于 $ 15 $ h，也不超过 $ 40 $ h。
（1）设此人在甲健身中心活动 $ x $ h 的收费为 $ f(x) $，在乙健身中心活动 $ x $ h 的收费为 $ g(x) $，试求 $ f(x) $ 和 $ g(x) $。
（2）选择哪家健身中心比较合算？为什么？

答案： 11.解：
(1)$f(x)=5x$，$15\leq x\leq40$，
$g(x)=\begin{cases}90,15\leq x\leq30,\\30 + 2x,30＜x\leq40.\end{cases}$
(2)当$5x = 90$时，$x = 18$，
即当$15\leq x＜18$时，$f(x)＜g(x)$；
当$x = 18$时，$f(x)=g(x)$；
当$18＜x\leq40$时，$f(x)＞g(x)$.
所以当$15\leq x＜18$时，选甲健身中心比较合算；当$x = 18$时，两家健身中心一样合算；当$18＜x\leq40$时，选乙健身中心比较合算.