《2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社数学必修第一册人教A版浙江专版》

一、全称量词命题的否定
观察下列命题，回答问题：
①所有的正方形都是菱形；
②每一个分数都是有理数；
③$\forall x\in \mathbf{R},{x}^{2}-2x+1\geqslant 0$.
【思考】
(1)这些命题是什么形式的命题？
(2)你能写出它们的否定吗？
(3)这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

答案：
(1)提示：因为都含有全称量词，所以是全称量词命题.
(2)提示：命题①的否定：存在一个正方形不是菱形.命题②的否定：存在一个分数不是有理数.命题③的否定：$\exists x \in \mathbf{R},x^{2}-2x + 1 ＜ 0$.
(3)提示：从命题形式上看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.

二、存在量词命题的否定
观察下列命题，回答问题：
①$\exists x\in \mathbf{R},{x}^{2}+2x+2\leqslant 0$；
②有的三角形是等腰三角形；
③存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分.
【思考】
(1)这些命题是什么形式的命题？
(2)你能写出这些命题的否定吗？
(3)这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

答案：
(1)提示：因为每个命题都含有存在量词，所以是存在量词命题.
(2)提示：命题①的否定：$\forall x \in \mathbf{R},x^{2}+2x + 2 ＞ 0$.命题②的否定：任何三角形都不是等腰三角形.命题③的否定：对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分.
(3)提示：从命题形式上看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.

【例 1】下列含有一个量词的命题的否定正确的是（ ）

A.“$\forall x\in \mathbf{R},{x}^{2}\neq x$”的否定是“$\exists x\in \mathbf{R},{x}^{2}=x$”
B.“$\forall x\in \mathbf{R},{x}^{2}\neq x$”的否定是“$\forall x\notin \mathbf{R},{x}^{2}\neq x$”
C.“$\exists x\in \mathbf{R},{x}^{2}+x+1\lt 0$”的否定是“$\forall x\in$
$\mathbf{R},{x}^{2}+x+1\lt 0$”
D.“$\exists x\in \mathbf{R},{x}^{2}+x+1\lt 0$”的否定是“$\forall x\notin$
$\mathbf{R},{x}^{2}+x+1\geqslant 0$”

答案： A