《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

2.若反比例函数y=$\frac{m+1}{x}$的图象经过点(2,1),则m的值是1.

答案： 1

3.若反比例函数y=$\frac{k+1}{x}$的图象与正比例函数y=2x的图象没有交点,则k的取值范围是k ＜ -1；若反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与一次函数y=kx+2的图象有交点,则k的取值范围是任意实数且k≠0.

答案： k ＜ -1; 任意实数且k≠0

4.若反比例函数y=$\frac{k}{x}$(k＜0)的图象经过点(-2,a),(-1,b),(3,c),则a,b,c的大小关系为(D)

A.c＞a＞b
B.c＞b＞a
C.a＞b＞c
D.b＞a＞c

答案： D

5.已知k₁＜0＜k₂,则函数y=k₁x与y=$\frac{k₂}{x}$的图象大致是(D)

答案： D

6.当x＜0时,函数y=(k-1)x与y=$\frac{2-k}{3x}$中的y都随x的增大而增大,则k满足(C)

A.k＞1
B.1＜k＜2
C.k＞2
D.k＜1

答案： C

7.一个函数具有下列性质:①它的图象经过点(-1,1)；②它的图象在第二、四象限内；③在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而增大.则这个函数的表达式可以表示为y=-$\frac{1}{x}$.

答案： y=-$\frac{1}{x}$

8.作出函数y=$\frac{12}{x}$的图象,并根据图象解答下列问题:
(1)当x=-2时,求y的值；
(2)当2＜y＜3时,求x的取值范围；
(3)当-3＜x＜2时,求y的取值范围.
解:(1)y=-6 (2)4＜x＜6 (3)y＞6或y＜-4

答案： 解:
(1)y=-6
(2)4＜x＜6
(3)y＞6或y＜-4

如图,已知正比例函数y=ax(a≠0)的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$(k＞0)的图象的一个交点为A(-1,2-k$^2$),另一个交点为B,且点A,B关于原点O对称,D为OB的中点,过点D作线段OB的垂直平分线,与x轴、y轴分别交于C,E两点.
(1)求反比例函数和正比例函数的表达式；
(2)试计算△COE的面积是△ODE面积的多少倍.

答案：
(1)
因为点$A(-1,2 - k^{2})$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\gt0)$的图象上，
所以$2 - k^{2}=\frac{k}{-1}=-k$，
即$k^{2}-k - 2 = 0$，
因式分解得$(k - 2)(k+1)=0$，
解得$k = 2$或$k=-1$，
又因为$k\gt0$，所以$k = 2$，
反比例函数表达式为$y=\frac{2}{x}$，
当$x=-1$时，$y=\frac{2}{-1}=-2$，所以$A(-1,-2)$，
因为点$A$，$B$关于原点$O$对称，所以$B(1,2)$，
把$B(1,2)$代入$y = ax$，得$2=a×1$，解得$a = 2$，
正比例函数表达式为$y = 2x$。
(2)
因为$B(1,2)$，$D$为$OB$的中点，根据中点坐标公式$(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})$，这里$O(0,0)$，$B(1,2)$，所以$D(\frac{1}{2},1)$，
因为$CE$是线段$OB$的垂直平分线，所以$OB\perp CE$，$OD = BD$，
$k_{OB}=\frac{2 - 0}{1 - 0}=2$，则$k_{CE}=-\frac{1}{2}$，
设直线$CE$的表达式为$y=-\frac{1}{2}x+b$，
把$D(\frac{1}{2},1)$代入得$1=-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+b$，
$1=-\frac{1}{4}+b$，解得$b=\frac{5}{4}$，
所以直线$CE$的表达式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$，
当$x = 0$时，$y=\frac{5}{4}$，$E(0,\frac{5}{4})$，
当$y = 0$时，$0=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$，
$\frac{1}{2}x=\frac{5}{4}$，解得$x=\frac{5}{2}$，$C(\frac{5}{2},0)$，
$S_{\triangle ODE}=\frac{1}{2}× OD（这里利用三角形面积公式S = \frac{1}{2}×底×高，以OD为底时高为D点横坐标的绝对值对应的垂直距离等价于用坐标计算）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{4}$（另一种计算方式：$S_{\triangle ODE}=\frac{1}{2}× OE×|x_D|=\frac{1}{2}×\frac{5}{4}×\frac{1}{2}=\frac{5}{16}$，我们用$D$到$y$轴距离和$OE$计算），
更准确计算：$S_{\triangle ODE}=\frac{1}{2}× OE× x_D=\frac{1}{2}×\frac{5}{4}×\frac{1}{2}=\frac{5}{16}$，
$S_{\triangle COE}=\frac{1}{2}× OC× OE=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×\frac{5}{4}=\frac{25}{16}$，
$\frac{S_{\triangle COE}}{S_{\triangle ODE}}=\frac{\frac{25}{16}}{\frac{5}{16}} = 5$。
综上，
(1)反比例函数表达式为$y=\frac{2}{x}$，正比例函数表达式为$y = 2x$；
(2)△$COE$的面积是△$ODE$面积的$5$倍。

视野拓展
解:(1)由图知k＞0,a＞0, ∵点A(-1,2-k$^2$)在y=$\frac{k}{x}$图象上, ∴2-k$^2$=-k,即k$^2$-k-2=0,解得k=2(k=-1舍去), 得反比例函数为y=$\frac{2}{x}$. 此时A(-1,-2),代入y=ax,解得a=2, ∴正比例函数为y=2x. (2)过点B作BF⊥x轴于F. ∵A(-1,-2)与B关于原点对称, ∴B(1,2),即OF=1,BF=2,得OB=$\sqrt{5}$. 由图,易知Rt△OBF∽Rt△OCD, ∴OB:OC=OF:OD,而OD=$\frac{OB}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$ ∴OC=$\frac{OB·OD}{OF}$=2.5. 由Rt△COE∽Rt△ODE, 得$\frac{S_{\triangle COE}}{S_{\triangle ODE}}$=($\frac{OC}{OD}$)$^2$=($\frac{5}{2}×\frac{2}{\sqrt{5}}$)$^2$=5. 所以△COE的面积是△ODE面积的5倍.

答案： 解:
(1)由图知k＞0,a＞0,
∵点A(-1,2-k$^2$)在y=$\frac{k}{x}$图象上,
∴2-k$^2$=-k,即k$^2$-k-2=0,解得k=2(k=-1舍去), 得反比例函数为y=$\frac{2}{x}$. 此时A(-1,-2),代入y=ax,解得a=2,
∴正比例函数为y=2x.
(2)过点B作BF⊥x轴于F.
∵A(-1,-2)与B关于原点对称,
∴B(1,2),即OF=1,BF=2,得OB=$\sqrt{5}$. 由图,易知Rt△OBF∽Rt△OCD,
∴OB:OC=OF:OD,而OD=$\frac{OB}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$
∴OC=$\frac{OB·OD}{OF}$=2.5. 由Rt△COE∽Rt△ODE, 得$\frac{S_{\triangle COE}}{S_{\triangle ODE}}$=($\frac{OC}{OD}$)$^2$=($\frac{5}{2}×\frac{2}{\sqrt{5}}$)$^2$=5. 所以△COE的面积是△ODE面积的5倍.