《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

2. 下列关于矩形的说法正确的是（D）

A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相平分的四边形是矩形
C.矩形的对角线互相垂直平分
D.矩形的对角线相等且互相平分

答案： D

3. 如图,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=2,若要使□ABCD为矩形,则OB的长应该为（C）


A.4
B.3
C.2
D.1

答案： C

4. 如图,要使□ABCD是矩形,则应添加的条件是AC=BD.(添加一个条件即可)

答案： AC=BD

5. 如图,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△AOB是等边三角形,AB=4.求这个平行四边形的面积.

解：S=16$\sqrt{3}$

答案： S=16$\sqrt{3}$

6. 如图,在△ABC中,O是边AC上一个动点,过点O作直线MN//BC,MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,连接AE,AF.
(1)求证:OE=OF.
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长.
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形？并说明理由.

解：(1)证OC=OE=OF
∵MN//BC，
∴∠OEC=∠BCE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠OEC=∠ACE，
∴OE=OC，
同理，∠OFC=∠DCF，
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=∠DCF，
∴∠OFC=∠ACF，
∴OF=OC，
∴OE=OF；
(2)OC=$\frac{13}{2}$
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=$\frac{1}{2}$(∠ACB+∠ACD)=$\frac{1}{2}×180°=90°$，
在Rt△ECF中，EF=$\sqrt{CE^2+CF^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$，
∵OE=OF，∠ECF=90°，
∴OC=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{13}{2}$；
(3)O在AC中点时
当O为AC中点时，AO=CO，
∵OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形.

答案：
(1)证OC=OE=OF
∵MN//BC，
∴∠OEC=∠BCE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠OEC=∠ACE，
∴OE=OC，
同理，∠OFC=∠DCF，
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=∠DCF，
∴∠OFC=∠ACF，
∴OF=OC，
∴OE=OF；
(2)OC=$\frac{13}{2}$
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=$\frac{1}{2}$(∠ACB+∠ACD)=$\frac{1}{2}×180°=90°$，
在Rt△ECF中，EF=$\sqrt{CE^2+CF^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$，
∵OE=OF，∠ECF=90°，
∴OC=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{13}{2}$；
(3)O在AC中点时
当O为AC中点时，AO=CO，
∵OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形.

如图,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,P是四边形外一点,且PA⊥PC,PB⊥PD,垂足为P.求证:四边形ABCD为矩形.

答案：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD（平行四边形对角线互相平分）。
∵PA⊥PC，
∴△APC是直角三角形，∠APC=90°。
∵O是AC中点，
∴PO=1/2AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
同理，
∵PB⊥PD，
∴△BPD是直角三角形，∠BPD=90°。
∵O是BD中点，
∴PO=1/2BD。
∴1/2AC=1/2BD，即AC=BD。
∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，
∴四边形ABCD为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。

解：连接OP.
∵PA⊥PC
∴△APC为Rt△
又∵□ABCD对角线交于O
∴AO=OC=PO
同理PO=BO=OD
∴AO=OD ∴AC=BD
∴□ABCD为矩形

答案： 连接OP.
∵PA⊥PC
∴△APC为Rt△
又
∵□ABCD对角线交于O
∴AO=OC=PO
同理PO=BO=OD
∴AO=OD
∴AC=BD
∴□ABCD为矩形

1. 矩形的定义：有一个角为90°的平行四边形是矩形.
想一想矩形的性质.

答案： 有一个角为90°的平行四边形是矩形

2. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
想一想菱形的性质.

答案： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形

3. 结合你以前学到的知识说一说,什么样的图形叫做正方形?

答:①四边相等,四个角都是直角
②对角线互相垂直、平分且相等的四边形
③一组邻边相等,一个角为90°的平行四边形
④一组邻边相等的矩形
⑤一个角为90°的菱形

答案： ①四边相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。
②对角线互相垂直、平分且相等的四边形叫做正方形。
③一组邻边相等，一个角为90°的平行四边形叫做正方形。
④一组邻边相等的矩形叫做正方形。
⑤一个角为90°的菱形叫做正方形。