《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

7. 矩形的判定

(1)若 3个角为90°,则四边形ABCD是矩形；
(2)若 ∠BAD=90°,则□ABCD是矩形；
(3)若 AC=BD,则□ABCD是矩形.

答案： 3个角为90°; ∠BAD=90°; AC=BD

8. 正方形的判定

(1)若 ∠ABC=90°,则菱形ABCD是正方形；
(2)若 AC=BD,则菱形ABCD是正方形；
(3)若 AC⊥BD,则矩形ABCD是正方形；
(4)若 AB=BC,则矩形ABCD是正方形.
菱形面积公式：$S=\frac{1}{2}AC·BD$.
正方形面积公式：$S=AB·BC$.

答案： ∠ABC=90°; AC=BD; AC⊥BD; AB=BC; $S=\frac{1}{2}AC·BD$; $S=AB·BC$

例1 如图,解答下列问题：
(1)以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF,判断四边形ADFE的形状.
(2)在(1)问中,四边形ADFE是否一定是平行四边形？若是,写出△ABC应满足的条件;若不一定是,请说明理由.
(3)△ABC满足什么条件时,四边形ADFE是矩形？
(4)△ABC满足什么条件时,四边形ADFE是菱形？
(5)△ABC满足什么条件时,四边形ADFE是正方形？

解:(1)平行四边形. EF=AD、FD=AE
(2)一定存在，只需∠BAC≠60°
(3)∠BAC=150°
(4)等腰△(AE=AD)
(5)∠BAC=150°的等腰三角形

答案： 解:
(1)平行四边形. EF=AD、FD=AE
(2)一定存在，只需∠BAC≠60°
(3)∠BAC=150°
(4)等腰△(AE=AD)
(5)∠BAC=150°的等腰三角形

例2 如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=3 cm,过点A作AE⊥BD,垂足为E.
(1)求对角线AC的长；
(2)求AE的长；
(3)求$\frac{BE}{ED}$的值.

解:(1)AC=6cm；(2)AE=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$cm；(3)$\frac{BE}{ED}=\frac{1}{3}$.

答案： 解:
(1)AC=6cm；
(2)AE=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$cm；
(3)$\frac{BE}{ED}=\frac{1}{3}$.

例3 如图,正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F,作BH⊥AF于点H，分别交AC，CD于点G，P,连接GE，GF.
(1)求证:△OAE≌△OBG.
(2)四边形BFGE是否为菱形？若是,给出证明;若不是,请说明理由.

解:(1)(AAS or ASA)
(2)是. 证:△AHG≌△AHB

答案： 解:
(1)(AAS or ASA)
(2)是. 证:△AHG≌△AHB

例4 如图,已知△ABC是等边三角形，点D,F分别在边BC,AC上，且DF//AB,过点A平行于BC的直线与DF的延长线交于点E,连接CE,BF.
(1)求证:△ABF≌△ACE；
(2)若D是BC的中点,判断△DCE的形状,并说明理由.

解:(1)(SAS)
(2)△DCE为等边三角形
连接AD. 证ADCE是□

答案： 解:
(1)(SAS)
(2)△DCE为等边三角形
连接AD. 证ADCE是□