《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

1. 抛物线$y = ax^2(a \neq 0)$的性质
图象(草图)
开口方向
向上
向下
顶点
(0,0)
(0,0)
对称轴
y轴
y轴
增减性
$x ＜ 0$时，y随x的增大而减小；$x ＞ 0$时，y随x的增大而增大
$x ＜ 0$时，y随x的增大而增大；$x ＞ 0$时，y随x的增大而减小
有最高或最低点
低
高
最值
当$x = $0时，y有最 小值，是 0
当$x = $0时，y有最 大值，是 0

答案： 0; 小; 0; 0; 大; 0

2. 抛物线$y = x^2$与$y = -x^2$关于 x轴 对称，抛物线$y = ax^2$与$y = -ax^2$关于 x轴 对称，开口大小 相同.

答案： x轴; x轴; 相同

3.$|a|$越大，抛物线的开口越 小；反之，$|a|$越小，抛物线的开口越 大.

答案： 小; 大

例1 指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值和增减性.
(1)$y = \frac{\pi}{3}x^2$；
(2)$y = (1 - \sqrt{2})x^2$.
解：

开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
(1)
向上
y轴
(0,0)
当$x = 0$,$y_{min} = 0$
(2)
向下
y轴
(0,0)
当$x = 0$,$y_{max} = 0$
解：
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
(1)
向上
y轴
(0,0)
当$x = 0$,$y_{min} = 0$
(2)
向下
y轴
(0,0)
当$x = 0$,$y_{max} = 0$

答案： 解：
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
(1)
向上
y轴
(0,0)
当$x = 0$,$y_{min} = 0$
(2)
向下
y轴
(0,0)
当$x = 0$,$y_{max} = 0$

例2 已知$y = (k + 2)x^{k^2 + k - 4}$是二次函数，且当$x ＞ 0$时，y随x的增大而增大.
(1)求k的值；
(2)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
(3)若点$A(-3,a)$,$B(1,b)$,$C(2,c)$在该二次函数图象上，比较a,b,c的大小.
解：(1)$k = 2$
(2)$(0,0)$ 对称轴$x = 0$
(3)$a ＞ c ＞ b$

答案： 解：
(1)$k = 2$
(2)$(0,0)$ 对称轴$x = 0$
(3)$a ＞ c ＞ b$

例3 抛物线$y_1 = ax^2(a \neq 0)$与直线$y_2 = 2x - 3$交于点$A(1,b)$.
(1)求a和b的值.
(2)求抛物线$y_1 = ax^2$的解析式，并求出顶点坐标和对称轴.
(3)作$y_1 = ax^2$的草图，并指出x取何值时，$y_1$随x的增大而增大.
(4)求抛物线$y_1$与直线$y = -2$的两个交点及顶点所围成的三角形的面积.
(5)抛物线$y_1$与直线$y_2$还有另外的交点吗？若有，设为点B，并求出其坐标.
(6)当$y_1 ＞ y_2$时，求x的取值范围.
(7)在y轴上找一点P，使$S_{\triangle POB} = S_{\triangle AOB}$，求点P的坐标.
解：(1)$a = -1$,$b = -1$
(2)$y = -x^2$ $(0,0)$ $x = 0$
(3)$x \leq 0$ y随x增大而增大.

(4)$S_{\triangle ABO} = 2\sqrt{2}$
(5)$(-3,-9)$
(6)$-3 ＜ x ＜ -1$
(7)$S_{\triangle AOB} = 6$
$\therefore S_{\triangle POB} = 6 = \frac{1}{2}|y| × 3$,$\therefore |y| = 4$
$\therefore P_1(0,-4)$ $P_2(0,4)$
反馈用
A组

答案：
解：
(1)$a = -1$,$b = -1$
(2)$y = -x^2$ $(0,0)$ $x = 0$
(3)$x \leq 0$ y随x增大而增大.

(4)$S_{\triangle ABO} = 2\sqrt{2}$
(5)$(-3,-9)$
(6)$-3 ＜ x ＜ -1$
(7)$S_{\triangle AOB} = 6$
$\therefore S_{\triangle POB} = 6 = \frac{1}{2}|y| × 3$,$\therefore |y| = 4$
$\therefore P_1(0,-4)$ $P_2(0,4)$