《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

6. 在⊙O 中,$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$,则线段 AB ＜2AC（填“＞”“＜”或“=”）.

答案： ＜

7. 如图,在三个等圆上各有一条劣弧：$\overset{\frown}{AB}$,$\overset{\frown}{CD}$,$\overset{\frown}{EF}$. 若$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{EF}$,则 AB + CD 与 EF 的大小关系是什么?
解:AB + CD＞EF

答案： 解:AB + CD＞EF

如图,AB,CD 是⊙O 的弦,∠A=∠C. 求证:AB=CD.
解:连接 BO,OD， ∵ OA=OB， ∴∠A=∠B， ∵ OC=OD， ∴∠C=∠D， ∵∠A=∠C， ∴∠AOB=∠COD， ∴ AB=CD.

答案： 解:连接 BO,OD，
∵ OA=OB，
∴∠A=∠B，
∵ OC=OD，
∴∠C=∠D，
∵∠A=∠C，
∴∠AOB=∠COD，
∴ AB=CD.

1. 如图,AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O的一条直径,且CD⊥AB,垂足为E.
(1)该图是轴对称图形吗？如果是,其对称轴是什么？
(2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.

答案：
(1)
是轴对称图形，对称轴是直径$CD$所在的直线。
(2)
$AE = BE$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
理由：因为直径$CD\perp$弦$AB$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧，所以$AE = BE$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。

2. 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两段弧.

CD是直径
CD⊥AB
⇒
{AE=BE,
⌢AC=⌢BC,
⌢AD=⌢BD.

答案： 弦; 平分; 两段弧; 直径; ⊥

如图,已知AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O的一条直径,且CD⊥AB,垂足为E.
求证:
(1)AE=BE;
(2)⌢AC=⌢BC;
(3)⌢AD=⌢BD.

解:连接OA、OB
Rt△OAE≌Rt△OBE(HL)
∴AE=BE
∠AOE=∠BOE
∴⌢AC=⌢BC
⌢AD=⌢BD

答案：
(1)连接OA、OB。
∵OA、OB是⊙O的半径，
∴OA=OB。
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，
∴∠OEA=∠OEB=90°。
在Rt△OAE和Rt△OBE中，
OA=OB，
OE=OE，
∴Rt△OAE≌Rt△OBE(HL)，
∴AE=BE。
(2)由
(1)知∠AOE=∠BOE，
∴⌢AC=⌢BC。
(3)
∵CD是⊙O的直径，
∴⌢CAD=⌢CBD。
由
(2)知⌢AC=⌢BC，
∴⌢CAD-⌢AC=⌢CBD-⌢BC，
即⌢AD=⌢BD。

例1 如图,已知AB是⊙O的直径,AB=4,OB,CD交于点E,且CD垂直平分OB.求CD的长.

解:连接OC,OE=1
OC=2
∴CE=√3
∴CD=2CE=2√3

答案： 连接OC。
∵AB是⊙O的直径，AB=4，
∴OC=OB=2。
∵CD垂直平分OB，
∴OE=1/2 OB=1，∠OEC=90°。
在Rt△OEC中，CE=√(OC²-OE²)=√(2²-1²)=√3。
∵AB是直径，CD⊥AB，
∴CD=2CE=2√3。
答：CD的长为2√3。