《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

例3 如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE,BC的延长线相交于点F,且EF·DF=BF·CF.
(1)求证:AD·AB=AE·AC;
(2)当AB=12,AC=9,AE=8时,求BD的长与$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ECF}}$的值.

解：(1)证△EFC∽△BFD(SAS)
再证△ADE∽△ACB(AA)
$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ECF}}=28$
BD=6

答案： 解：
(1)证△EFC∽△BFD(SAS)
再证△ADE∽△ACB(AA)
$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ECF}}=28$
BD=6

1. 如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=12,E为DC的中点,AF⊥BE于点F,则AF=$\frac{120}{13}$.

答案： $\frac{120}{13}$

2. 在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,DE//BC,DE=1,BC=3,AB=6,则AD的长为2.

答案： 2

3. 如图,已知AB//EF//CD,AC,BD相交于点E,AB=6 cm,CD=12 cm,则EF=4cm.

答案： 4

4. 如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=4,BD=14.点P在BD上移动,当以P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似时,则PB的长为8.4或2或12.

答案： 8.4或2或12

5. 如图,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,∠BAC的平分线分别交BC,CD于点E,F.求证:AC·AE=AF·AB.

解：证△AFC∽△AEB

答案： 解：证△AFC∽△AEB

如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边上的点E处,过点E作EG//CD交AF于点G,连接DG.

(1)求证:四边形EFDG为菱形;
(2)求证:$EG^2=\frac{1}{2}GF·AF$;
(3)若AB=4,BC=5,求GF的长.

答案：
(3) GF的长为√5。

视野拓展
解：(1)证四边相等.
连接DE与FG交于点O
(2)证△DOF∽△ADF
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{FO}{DF}$
⇒$DF^2=FO·AF$
又∵FO=$\frac{1}{2}GF$,DF=EG
∴$EG^2=\frac{1}{2}GF·AF$
(3)GF=$\sqrt{5}$

答案： 解：
(1)证四边相等.
连接DE与FG交于点O
(2)证△DOF∽△ADF
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{FO}{DF}$
⇒$DF^2=FO·AF$
又
∵FO=$\frac{1}{2}GF$,DF=EG
∴$EG^2=\frac{1}{2}GF·AF$
(3)GF=$\sqrt{5}$