《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

根据下表的对应值判断方程$ax^2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)$的一个解x的取值范围是（D）

答案： D

(1)写出方程$ax^2+bx+c=0$的两个根；

答案： 对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，其两个根可以通过求根公式得出：
当 $\Delta = b^{2} - 4ac ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根，分别为：
$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$，
$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$，
当 $\Delta = b^{2} - 4ac = 0$ 时，方程有两个相等的实数根，即：
$x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2a}$，
当 $\Delta = b^{2} - 4ac ＜ 0$ 时，方程无实数根。

(2)写出不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集；

答案： 答案略

(3)写出y随x的增大而增大时自变量x的取值范围；

答案： 答案略

(4)若方程$ax^2+bx+c=k$有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
解:(1)$x_1=1$ $x_2=3$ (2)1＜x＜3 (3)$x≤2$ (4)k＜2总结

答案： 解:
(1)$x_1=1$ $x_2=3$
(2)1＜x＜3
(3)$x≤2$
(4)k＜2

(1)二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根；

答案： 交点的横坐标; 根

(2)二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=h$交点的横坐标即为一元二次方程$ax^2+bx+c=h$的根.

答案： 交点的横坐标; 根

(1)这两种解法的结果一样吗？

答案： 答案略

(2)小刘解法的依据是什么？

答案： 假设原题中给出小刘的解法是通过观察二次函数图像与x轴交点来判断对应一元二次方程根的情况，以下是作答：
小刘解法的依据是：二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$）的图像与$x$轴交点的横坐标就是一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$）的根。当二次函数图像与$x$轴有两个交点时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数图像与$x$轴有一个交点时，一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数图像与$x$轴没有交点时，一元二次方程没有实数根。

(3)函数$y=ax^2$和$y=bx+c$的图象一定相交于两点吗？你能否举出例子加以说明？

答案： 不一定相交于两点。
联立方程$ax^2 = bx + c$（$a \neq 0$），整理得$ax^2 - bx - c = 0$，判别式$\Delta = b^2 + 4ac$。
1. 当$\Delta ＞ 0$时，有两个交点。例：$y = x^2$与$y = 1$，联立得$x^2 = 1$，解得$x = \pm1$，交点$(1,1)$，$(-1,1)$。
2. 当$\Delta = 0$时，有一个交点。例：$y = x^2$与$y = 0$，联立得$x^2 = 0$，解得$x = 0$，交点$(0,0)$。
3. 当$\Delta ＜ 0$时，无交点。例：$y = x^2$与$y = -1$，联立得$x^2 = -1$，无实根，无交点。

(4)函数$y=ax^2$和$y=bx+c$的图象的交点横坐标一定是一元二次方程$ax^2-bx-c=0$的解吗？

答:一样

答:不一定 解:$ax^2=bx+c$ $ax^2-bx-c=0$ 一定

答案：
答:一样
答:不一定 解:$ax^2=bx+c$ $ax^2-bx-c=0$ 一定