《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

7. 如图,在⊙O中,弦AB//EF,连接OE，OF交AB于两点C,D.求证:AC=DB.

解:作OM⊥AB
∴AM=BM
又∵AB//EF
∴∠OCD=∠ODC
∴CM=DM
∴AC=BD

答案： 证明：作OM⊥AB于点M，
∵OM过圆心O，
∴AM=BM（垂径定理）。
∵AB//EF，
∴∠OCD=∠OEF，∠ODC=∠OFE（两直线平行，同位角相等）。
∵OE=OF（同圆半径相等），
∴∠OEF=∠OFE（等边对等角），
∴∠OCD=∠ODC，
∴OC=OD（等角对等边）。
∵OM⊥AB，
∴CM=DM（等腰三角形三线合一）。
∵AM=BM，CM=DM，
∴AM-CM=BM-DM，即AC=DB。
结论：AC=DB。

如图,点C在以AB为直径的⊙O上,CD⊥AB于点P,设AP=a,PB=b.
(1)求弦CD的长;
(2)若a+b=10,求ab的最大值.

解$:(1)r=\frac{a+b}{2}$
$PC=\sqrt{ab}$
$CD=2\sqrt{ab}$
(2)∵$a+b≥2\sqrt{ab}$
∴$2\sqrt{ab}≤10$
$\sqrt{ab}≤5$
∴ab的最大值25

答案：
(1)连接OC，
∵AB为⊙O直径，AP=a，PB=b，
∴AB=a+b，半径OC=OA=OB=$\frac{a+b}{2}$，
∵CD⊥AB于P，由垂径定理得CP=PD，
OP=OA-AP=$\frac{a+b}{2}-a=\frac{b-a}{2}$，
在Rt△OPC中，OC²=OP²+CP²，
即$(\frac{a+b}{2})^2=(\frac{b-a}{2})^2+CP^2$，
展开得$\frac{(a+b)^2}{4}-\frac{(b-a)^2}{4}=CP^2$，
化简得$\frac{4ab}{4}=CP^2$，
∴CP=$\sqrt{ab}$，
∴CD=2CP=2$\sqrt{ab}$；
(2)
∵a＞0，b＞0，a+b=10，
由基本不等式得a+b≥2$\sqrt{ab}$，
∴10≥2$\sqrt{ab}$，即$\sqrt{ab}$≤5，
两边平方得ab≤25，当且仅当a=b=5时取等号，
∴ab的最大值为25．

1. 我们学习了垂径定理——垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.该定理揭示了:若一条直线①经过圆心,②垂直于弦,则可以推出该直线必③平分这条弦,④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧.
(1)如果将该定理的条件②与结论③进行互换,我们能发现什么?
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并平分弦所对的两段弧.
(2)如果将该定理的条件①与结论③进行互换,我们又能发现什么?
推论:弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的两段弧.
(3)如果将该定理的条件②与结论④(或结论⑤)进行互换,我们又能发现什么?
推论:平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.

答案： 圆心; 平分; 优弧; 劣弧; 不是直径; 垂直; 两段弧; 圆心; 两段弧; 垂直于; 另一条弧

2. 垂径定理的推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.

答案： 的弧相等

请证明垂径定理的推论.

答案： 已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦（AB不是直径），CD平分AB于点E。
求证：CD⊥AB，且弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。
证明：连接OA、OB。
∵OA、OB是⊙O的半径，
∴OA=OB。
∵CD平分AB，
∴AE=BE。
在△OAB中，OA=OB，AE=BE，
∴OE⊥AB（等腰三角形三线合一），即CD⊥AB。
∵OA=OB，AE=BE，OE=OE，
∴△OAE≌△OBE（SSS）。
∴∠AOE=∠BOE。
∴弧AD=弧BD（在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。
∵CD是直径，
∴∠AOC=180°-∠AOE，∠BOC=180°-∠BOE。
∵∠AOE=∠BOE，
∴∠AOC=∠BOC。
∴弧AC=弧BC（在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。
综上，CD⊥AB，且弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。

例1 (1)如图,在⊙O中,C为弦AB的中点,连接OC,AB=8,OA=5,则AC=4,OC=3;

答案： 4; 3