《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

8. 如图,AB是⊙O的一条弦,C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,E,F分别是AC,BC的中点,直线EF与⊙O交于G,H两点.若⊙O的半径为7,则GE+FH的最大值为21/2.

答案： 21/2

9. 如图,点A,B,C,D在⊙O上,AC⊥BD于点E,过点O作OF⊥BC于点F.求证:
(1)△AEB∽△OFC；
(2)AD=2FO.

解:(1)连接OB.
∵OB=OC且OF⊥BC
∴∠1=∠2
又∵∠3=$\frac{1}{2}$(∠1+∠2)
∴∠3=∠1
又∵∠AEB=∠OFC=90°
∴△AEB∽△OFC
(2)△AED∽△BEC
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{BC}$
又∵△AEB∽△OFC
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{OF}{FC}$
∴$\frac{AD}{BC}=\frac{OF}{FC}$
∴2FO=AD

答案： 解:
(1)连接OB.
∵OB=OC且OF⊥BC
∴∠1=∠2
又
∵∠3=$\frac{1}{2}$(∠1+∠2)
∴∠3=∠1
又
∵∠AEB=∠OFC=90°
∴△AEB∽△OFC
(2)△AED∽△BEC
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{BC}$
又
∵△AEB∽△OFC
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{OF}{FC}$
∴$\frac{AD}{BC}=\frac{OF}{FC}$
∴2FO=AD

如图1,已知⊙O的直径为AB,过半径OA的中点G作弦CE⊥AB,在弧CB上取一点D,分别作直线CD,ED,交直线AB于点F,M.
(1)求∠COA和∠FDM的度数.
(2)求证:△FDM∽△COM.
(3)如图2,若将垂足G改取为半径OB上任意一点,点D改取在弧EB上,仍作直线CD,ED分别交直线AB于点F,M.试判断此时是否仍有△FDM∽△COM,并证明你的结论.
解:(1)∠COA=60°
∠FDM=120°
(2)∠1=∠2=∠3
∴∠COM=∠FDM=120°
∴△FDM∽△COM
(3)∠4=∠6
∵CG=GE
GM⊥CE
∴∠1=∠2
∴△FDM∽△COM

答案： 解:
(1)∠COA=60°
∠FDM=120°
(2)∠1=∠2=∠3
∴∠COM=∠FDM=120°
∴△FDM∽△COM
(3)∠4=∠6
∵CG=GE
GM⊥CE
∴∠1=∠2
∴△FDM∽△COM

1. 直径所对的圆周角为90°;90°的圆周角所对的弦是直径. 如图,∵AB为直径,∴∠ACB=90°.

答案： 为90°; 直径; ∠ACB=90°