《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

1. 菱形的判定
定义:有一对邻边相等的平行四边形是菱形.

判定1:对角线互相垂直的平行四边形.
判定2:四边相等的四边形.

答案： 有一对邻边相等的平行四边形是菱形.; 对角线互相垂直的平行四边形.; 四边相等的四边形.

2. 矩形的判定
定义:有一个角为90°的平行四边形是矩形.

判定1:对角线相等的平行四边形.
判定2:至少有三个角是90°的四边形.

答案： 有一个角为90°的平行四边形是矩形.; 对角线相等的平行四边形.; 至少有三个角是90°的四边形.

1. 试用一张长方形的纸片(如图)折出一个正方形来.通过折纸,你认为具备什么条件的矩形是正方形?

答：有一组邻边相等的长方形是正方形

答案： 有一组邻边相等的长方形是正方形

2. 你再想一想,具备什么条件的菱形是正方形?
答：对角线相等的菱形是正方形 有一个角是90°的菱形是正方形

答案： 对角线相等的菱形是正方形 有一个角是90°的菱形是正方形

3. 正方形判定
(1)邻边相等的矩形是正方形.
如图,若四边形ABCD是矩形,且AB=BC,则四边形ABCD是正方形.

(2)对角线互相垂直的矩形是正方形.
如图,若四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD,则四边形ABCD是正方形.
(3)含有90°角的菱形是正方形.
如图,若四边形ABCD是菱形,且∠DAB=90°,则四边形ABCD是正方形.
(4)对角线相等的菱形是正方形.
如图,若四边形ABCD是菱形,且AC=BD,则四边形ABCD是正方形.

答案： 相等; 矩形; AB=BC; 互相垂直; 矩形; AC⊥BD; 90°角; 菱形; ∠DAB=90°; 相等; 菱形; AC=BD

例1 如图,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF//CE,CF//BE.求证:四边形BECF是正方形.

证明：∵BF//CE,CF//BE ∴四边形BECF是平行四边形, 又∵在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB ∴∠EBC=∠ECB=45° ∴∠BEC=90°,BE=CE ∴四边形BECF是正方形.

答案：
∵BF//CE,CF//BE
∴四边形BECF是平行四边形, 又
∵在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB
∴∠EBC=∠ECB=45°
∴∠BEC=90°,BE=CE
∴四边形BECF是正方形.

例2 如图,已知四边形ABCD是正方形,分别过A,C两点作l₁//l₂,作BM⊥l₁于点M,DN⊥l₁于点N,直线MB,DN分别交l₂于Q,P两点.求证:四边形PQMN是正方形.

证：△AND≌△BAM, △CQB≌△BMA ∴BQ+BM=AM+AN 即MN=QM,故得证.

答案： △AND≌△BAM, △CQB≌△BMA
∴BQ+BM=AM+AN 即MN=QM,故得证.