《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

1. 矩形的定义： 有一个角为90°的平行四边形 .

答案： 答案略

2. 矩形的性质
(1)矩形具有一般平行四边形的所有性质.
(2)矩形具有哪些特殊性质呢？请你结合图形写一写.
解:(2)四个角为90°
AC=BD.

答案： 四个角为90°
AC=BD.

1. 如图,在□ABCD中,M是AD边的中点,且MB=MC.求证:四边形ABCD是矩形.

证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC,AB=DC，
∵M是AD边的中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中，
$\begin{cases}AM=DM \\AB=DC \\MB=MC\end{cases}$
∴△ABM≌△DCM(SSS)，
∴∠A=∠D，
∵∠A+∠D=180°，
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形.

答案：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC,AB=DC，
∵M是AD边的中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中，
$\begin{cases}AM=DM \\AB=DC \\MB=MC\end{cases}$
∴△ABM≌△DCM(SSS)，
∴∠A=∠D，
∵∠A+∠D=180°，
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形.

2. 工人师傅在做门窗或矩形零件时,不仅要测量两组对边的长度是否分别相等,还常常要测量它们的两条对角线是否相等,以确保图形是矩形,你知道其中的道理吗？
探究矩形的判定定理一： 对角线相等的平行四边形是矩形.
如图,已知AC=BD，且□ABCD,求证：四边形ABCD为矩形.
几何语言：∵□ABCD中，AC=BD，∴□ABCD为矩形.

答案： 对角线相等; AC=BD，且□ABCD; 四边形ABCD为矩形;
∵□ABCD中，AC=BD，
∴□ABCD为矩形

3. 前面我们研究了矩形的四个角,知道它们都是直角,它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步,至少有几个角是直角的四边形是矩形？
探究矩形的判定定理二： 至少有三个角为90°的四边形是矩形.
如图,已知∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,求证：四边形ABCD为矩形.
几何语言：∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，∴四边形ABCD为矩形.

答案： 至少有三个角为90°; ∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°; 四边形ABCD为矩形;
∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
∴四边形ABCD为矩形

例1 如图,BF和BE分别是∠ABC和∠ABD的角平分线,点D,B,C在同一直线上,AE⊥BE于点E,AF⊥BF于点F.求证：AB=EF.

解：证∠EBF=$\frac{1}{2}×180°$
∴四边形AEBF为矩形.∴AB=EF

答案： 证∠EBF=$\frac{1}{2}×180°$
∴四边形AEBF为矩形.
∴AB=EF