《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

3. 如图,已知AD=3,BD=1,DE//BC,DF//AC,EG//AB.

(1)△ADE和△EGC的相似比是 3:1,对应高的比是 3:1.
(2)△ABC和△DBF的相似比是 4:1,对应角平分线的比是 4:1,对应中线的比是 4:1.

答案： 3:1; 3:1; 4:1; 4:1; 4:1

4. 如图,AD是△ABC的高,AD=3,点R在AC边上,点S在AB边上,SR⊥AD,垂足为E.当$SR=\frac{1}{3}BC$时,$DE=$ $\frac{2}{3}h$.

答案： $\frac{2}{3}h$

5. 如图，△ABC∽△A'B'C'，对应中线AD=6 cm,A'D'=10 cm. 若BC=4.2 cm,则B'C'= 7 cm.

答案： 7 cm

6. 如图,一块材料的形状是锐角△ABC,边BC=12 cm,高AD=8 cm.现把它加工成矩形零件,要使矩形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,且PQ:PN=3:2,求这个矩形零件的边长.

解:长为6 cm,宽为4 cm.

答案： 设PQ=3k，PN=2k（k＞0）。
∵四边形PNMQ为矩形，
∴PQ//BC，PN⊥BC。
∵AD⊥BC，
∴AD⊥PQ，△APQ∽△ABC。
设△APQ的高为h，则h=AD-PN=8-2k。
由相似三角形性质得：$\frac{PQ}{BC}=\frac{h}{AD}$，即$\frac{3k}{12}=\frac{8-2k}{8}$。
化简得：$\frac{k}{4}=\frac{8-2k}{8}$，$2k=8-2k$，解得k=2。
∴PQ=3k=6cm，PN=2k=4cm。
矩形零件的边长为6cm和4cm。

7. 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5,面积为1.5,要求把它截成一个面积最大的正方形桌子,甲、乙两人的加工方案分别如图所示,请你说明谁的加工方案符合要求.

解:甲:$BF=\frac{6}{7}$,乙:$EF=\frac{30}{37}$ ∵$\frac{6}{7}＞\frac{30}{37}$ ∴甲更符合.

答案： 解：
1. 求直角三角形另一直角边
已知直角三角形ABC，∠B=90°，AB=1.5，面积S=1.5。设BC为另一直角边，由面积公式：
$ S=\frac{1}{2}AB\cdot BC $，即 $ 1.5=\frac{1}{2}×1.5× BC $，解得 $ BC=2 $。
斜边 $ AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1.5^2+2^2}=2.5 $。
2. 甲方案：正方形边长计算
设正方形边长为$ x $，顶点在AB、BC及AC上，BF=x（AB上），BD=x（BC上），顶点E在AC上。
则$ DC=BC-BD=2-x $，$ DE=x $（正方形边长）。
因$ DE// AB $，$ \triangle CDE\sim\triangle CBA $，得：
$ \frac{DC}{BC}=\frac{DE}{AB} $，即$ \frac{2-x}{2}=\frac{x}{1.5} $。
解得：$ 1.5(2-x)=2x \Rightarrow 3=3.5x \Rightarrow x=\frac{6}{7} $。
3. 乙方案：正方形边长计算
设正方形边长为$ y $，边EF在AC上，G在AB上，D在BC上，$ GE=FD=y $（垂直于AC）。
斜边上的高$ BH=\frac{2S}{AC}=\frac{3}{2.5}=1.2 $，$ AH=\frac{AB^2}{AC}=0.9 $，$ CH=AC-AH=1.6 $。
由$ \triangle AGE\sim\triangle ABH $，$ AE=\frac{AH}{BH}\cdot y=\frac{0.9}{1.2}y=\frac{3y}{4} $；
由$ \triangle CFD\sim\triangle CBH $，$ CF=\frac{CH}{BH}\cdot y=\frac{1.6}{1.2}y=\frac{4y}{3} $。
因$ AC=AE+EF+FC $，即$ 2.5=\frac{3y}{4}+y+\frac{4y}{3} $，
解得：$ \frac{37y}{12}=2.5 \Rightarrow y=\frac{30}{37} $。
4. 比较大小
$ \frac{6}{7}\approx0.857 $，$ \frac{30}{37}\approx0.811 $，因$ \frac{6}{7}＞\frac{30}{37} $，
故甲方案符合要求。
结论：甲的加工方案符合要求。

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.
(1)如图1,四边形DEFG为△ABC的内接正方形,求正方形的边长；
(2)如图2,三角形内有并排的两个相等的正方形,它们组成的矩形内接于△ABC,求正方形的边长；
(3)如图3,三角形内有并排的三个相等的正方形,它们组成的矩形内接于△ABC,求正方形的边长；
(4)如图4,三角形内有并排的n个相等的正方形,它们组成的矩形内接于△ABC,请写出正方形的边长.
解:(1)$\frac{60}{37}$
(2)$\frac{60}{49}$
(3)$\frac{60}{61}$
(4)$x=\frac{60}{12n+25}$

答案：
(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=√(3²+4²)=5。设斜边上的高为h，由面积公式得AC·BC=AB·h，即3×4=5h，
∴h=12/5。设正方形边长为x，
∵四边形DEFG为正方形，
∴GF//AB，△CGF∽△CAB。相似比GF/AB=(h-x)/h，即x/5=(12/5 - x)/(12/5)，解得12x=5(12-5x)，37x=60，x=60/37。
(2)设正方形边长为x，两个正方形并排，GF=2x。△CGF∽△CAB，相似比2x/5=(12/5 - x)/(12/5)，即2x/5=(12-5x)/12，解得24x=5(12-5x)，49x=60，x=60/49。
(3)设正方形边长为x，三个正方形并排，GF=3x。△CGF∽△CAB，相似比3x/5=(12/5 - x)/(12/5)，即3x/5=(12-5x)/12，解得36x=5(12-5x)，61x=60，x=60/61。
(4)设正方形边长为x，n个正方形并排，GF=nx。△CGF∽△CAB，相似比nx/5=(12/5 - x)/(12/5)，即nx/5=(12-5x)/12，解得12nx=5(12-5x)，x(12n+25)=60，x=60/(12n+25)。