《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

1. 相似三角形的判定方法
(1)两角分别相等的两个三角形相似；
(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
(3)三边成比例的两个三角形相似(简称“SSS”)；
(4)如果两个直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.

答案： 两角; 夹角; 三边; 斜边与一条直角边

2. 相似三角形中的基本图形(请写出各图形中边或角的对应关系，并写出常用结论)
(1)平行型(A型、X型)

△ADE∽△ABC
△DAE∽△CAB
(2)交错型
△AEC∽△ADB
(3)旋转型
△ADE∽△ABC
(4)子母三角形
△ADC∽△ACB
(5)双垂直型

△ACD∽△CBD∽△ABC

答案： （1）平行型
A型（△ADE∽△ABC）：
对应角：∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A；
对应边：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$；
常用结论：$DE// BC\Rightarrow\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$；$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=\left(\frac{AD}{AB}\right)^2$。
X型（△DAE∽△CAB）：
对应角：∠D=∠C，∠E=∠B，∠DAE=∠CAB；
对应边：$\frac{DA}{CA}=\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{CB}$；
常用结论：$DE// BC\Rightarrow\frac{DA}{CA}=\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{CB}$；$\frac{S_{\triangle DAE}}{S_{\triangle CAB}}=\left(\frac{DA}{CA}\right)^2$。
（2）交错型（△AEC∽△ADB）：
对应角：∠A=∠A，∠AEC=∠ADB，∠ACE=∠ABD；
对应边：$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}=\frac{EC}{DB}$；
常用结论：$AE\cdot AB=AD\cdot AC$；$\frac{S_{\triangle AEC}}{S_{\triangle ADB}}=\left(\frac{AE}{AD}\right)^2$。
（3）旋转型（△ADE∽△ABC）：
对应角：∠DAE=∠BAC，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB；
对应边：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$；
常用结论：$AD\cdot AC=AE\cdot AB$；$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=\left(\frac{AD}{AB}\right)^2$。
（4）子母三角形（△ADC∽△ACB）：
对应角：∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∠ACD=∠B；
对应边：$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}=\frac{DC}{CB}$；
常用结论：$AC^2=AD\cdot AB$；$\frac{S_{\triangle ADC}}{S_{\triangle ACB}}=\left(\frac{AD}{AC}\right)^2$。
（5）双垂直型（△ACD∽△CBD∽△ABC）：
△ACD∽△ABC：
对应角：∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，∠ACD=∠B；
对应边：$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BC}$；
△CBD∽△ABC：
对应角：∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°，∠BCD=∠A；
对应边：$\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}=\frac{CD}{AC}$；
△ACD∽△CBD：
对应角：∠ACD=∠B，∠ADC=∠CDB=90°，∠A=∠BCD；
对应边：$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{CB}$；
常用结论：$AC^2=AD\cdot AB$，$BC^2=BD\cdot AB$，$CD^2=AD\cdot BD$；$AC\cdot BC=AB\cdot CD$。

例1 判断：
（1）所有的等腰三角形都相似；（×）
（2）所有的直角三角形都相似；（×）
（3）所有的等边三角形都相似；（√）
（4）所有的等腰直角三角形都相似.（√）

答案： ×; ×; √; √

例2 如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC上一点，且∠ADE=∠B. 求证：AD·CE=BD·DE.

证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE，
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{BD}{CE}$，
∴AD·CE=BD·DE.

答案： 证明：
∵ $AB = AC$，
∴ $\angle B = \angle C$，
∵ $\angle ADC = \angle ADE + \angle CDE = \angle B + \angle BAD$，
且 $\angle ADE = \angle B$，
∴ $\angle BAD = \angle CDE$，
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle DCE$ 中，
由于 $\angle B = \angle C$，$\angle BAD = \angle CDE$，
∴ $\triangle ABD \sim \triangle DCE$，
根据相似三角形的性质，对应边成比例，
∴ $\frac{AD}{DE} = \frac{BD}{CE}$，
交叉相乘得：
$AD \cdot CE = BD \cdot DE$。

例3 如图，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=$\sqrt{6}$，AD=2，CD=$\sqrt{2}$. 当AB的长度为多少时，这两个直角三角形相似？

解：设AB=x，
当AC:AD=AB:AC时，△ABC∽△ACD，
∴$\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{x}{\sqrt{6}}$，解得AB=3；
当AB:AC=AC:CD时，△ABC∽△CAD，
∴$\frac{x}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$，解得AB=3$\sqrt{2}$，
∴AB=3或3$\sqrt{2}$.

答案： 3或$3\sqrt{2}$

例4 如图，已知△ABC和△ADE，连接BD，CE，∠1=∠2，∠ABC=∠ADE.
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）若∠ADE=50°，∠AED=80°，设线段DB的延长线与线段EC的延长线交于点F，请直接写出∠DFE的度数.
解：（1）如图1，∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠ABC=∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
∴△ABD∽△ACE.
（2）如图2，线段DB的延长线与线段EC的延长线交于点F，EF交AD于点G，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ADB=∠AEC，
∴∠DGE-∠ADB=∠DGE-∠AEC，
∵∠DFE=∠DGE-∠ADB，∠DAE=∠DGE-∠AEC，
∴∠DFE=∠DAE，
∵∠ADE=50°，∠AED=80°，
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-50°-80°=50°，
∴∠DFE=50°.

答案： （1）证明：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC（等式的性质），
即∠BAC=∠DAE．
∵∠ABC=∠ADE，
∴△ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似）．
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$（相似三角形对应边成比例）．
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$（比例的基本性质）．
∵∠1=∠2，即∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
（2）解：50°．
解析：
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ADB=∠AEC（相似三角形对应角相等）．
设DB的延长线与EC的延长线交于点F，EF交AD于点G（如图2）．
在△DGF和△EGA中，
∠DGF=∠EGA（对顶角相等），
∠GDF=∠GEA（已证∠ADB=∠AEC），
∴△DGF∽△EGA（两角分别相等的两个三角形相似）．
∴∠DFE=∠DAE（相似三角形对应角相等）．
在△ADE中，∠ADE=50°，∠AED=80°，
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-50°-80°=50°（三角形内角和定理）．
∴∠DFE=50°．