《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

6.已知关于x的一元二次方程2x²-(m+2)x+m=0.
(1)证明:不论m为何值,方程总有两个实数根；
(2)若此方程两根之和等于两根之积的一半,求m的值.
解:(1)Δ=(m-2)²≥0 (2)m=-4
B组

答案： 解:
(1)Δ=(m-2)²≥0
(2)m=-4

7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x²-8x+7=0的两个根,则这个直角三角形的斜边长是3.

答案： 3

8.若方程2x²-(k+1)x+k+3=0的两个根之差为1,则k的值是9或-3.

答案： 9或-3

9.当关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有实数根,且其中一个根为另一个根的2倍时,称之为“倍根方程”.如果关于x的一元二次方程x²+(m-2)x-2m=0是倍根方程,求m的值.
解:m=-1或-4

答案： 解:m=-1或-4

10.已知方程5x²+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
解:设方程的另一个根为2，根据题意得2+t=-k/5,2t=-6/5,解得t=-3/5,k=-7,即它的另一个根为-3/5,k的值为-7.

答案： 解:设方程的另一个根为2，根据题意得2+t=-k/5,2t=-6/5,解得t=-3/5,k=-7,即它的另一个根为-3/5,k的值为-7.

已知α,β是关于x的一元二次方程(m-2)x²+2(m-4)x+m-4=0的两个不等实根.
(1)当m为满足条件的最小正整数时，求此方程两个实根的平方和；
(2)当α²+β²=6时,求m的值.
解:(1)α²+β²=30 (2)m=3或-2

答案： 解:
(1)α²+β²=30
(2)m=3或-2

1. 若一元二次方程ax² + bx + c = 0(a≠0)有两个实数根x₁和x₂,那么$x₁ + x₂ = $-\dfrac{b}{a}$,x₁·x₂ = $\dfrac{c}{a}$.$我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系,简称韦达定理.

答案： $-\dfrac{b}{a}$; $\dfrac{c}{a}$

2. 若一元二次方程x² + px + q = 0的两个根为x₁和x₂,则x₁ + x₂ = -p,x₁·x₂ = q.

答案： -p; q

3. 以x₁和x₂为根的一元二次方程(二次项系数为1)是$ $x^2 - (x₁ + x₂)x + x₁·x₂ = 0$.$

答案： $x^2 - (x₁ + x₂)x + x₁·x₂ = 0$

4. 在一元二次方程ax² + bx + c = 0(a≠0)中,有一根为0,则c = 0;有一根为1,则a + b + c = 0;有一根为-1,则a - b + c = 0;若两根互为倒数,则c = a;若两根互为相反数,则b = 0.

答案： 0; 0; 0; a; 0

例1 已知关于x的方程x² + (k + 1)x + k + 2 = 0的两个实数根的平方和是6,求k的值.
解：k = -3

答案： 设方程 $x^2 + (k + 1)x + k + 2 = 0$ 的两个实数根为 $x_1$ 和 $x_2$。
根据根与系数的关系，有：
$x_1 + x_2 = - (k + 1)$，
$x_1 \cdot x_2 = k + 2$，
由题目条件知，$x_1^2 + x_2^2 = 6$。
利用平方和与和、积的关系，有：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入已知条件，得：
$6 = (-k - 1)^2 - 2(k + 2)$，
$6 = k^2 + 2k + 1 - 2k - 4$，
$6 = k^2 - 3$，
$k^2 = 9$，
$k = \pm 3$，
由于方程有两个实数根，根据判别式的性质，有：
$\Delta = (k + 1)^2 - 4(k + 2) \geq 0$，
$\Delta = k^2 + 2k + 1 - 4k - 8 \geq 0$，
$\Delta = k^2 - 2k - 7 \geq 0$，
当 $k = 3$ 时，$\Delta = 3^2 - 2 × 3 - 7 = 9 - 6 - 7 = -4 ＜ 0$，不满足条件。
当 $k = -3$ 时，$\Delta = (-3)^2 - 2 × (-3) - 7 = 9 + 6 - 7 = 8 ＞ 0$，满足条件。
因此，$k = -3$。