《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

2. 想一想
(1)你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗?在剪拼的过程中,剪下的图形是经过怎样的运动最后拼接在一起的?
①平行四边形;②三角形;③菱形.

答案：
(1)①能；过平行四边形一顶点作高，剪下直角三角形，将该直角三角形平移，使斜边与对边重合，拼接成矩形。运动：平移。
②能；取三角形两边中点，过中点作第三边垂线，剪下直角三角形，将该直角三角形旋转180°，拼接成矩形。运动：旋转。
③能；过菱形一顶点作高，剪下直角三角形，将该直角三角形平移，使斜边与对边重合，拼接成矩形。运动：平移。

2. 想一想 (2)设四边形ABCD的每一个顶点到其他三个顶点的距离之和都相等.这个四边形是什么四边形?请说明理由.

答:矩形

答案： 四边形ABCD是矩形。
理由：设四边形ABCD顶点到其他三顶点距离之和为S。
对顶点A：AB+AC+AD=S；顶点B：AB+BC+BD=S；顶点C：AC+BC+CD=S；顶点D：AD+BD+CD=S。
由A-B得AC+AD=BC+BD；C-D得AC+BC=AD+BD。
两式相加：2AC=2BD，即AC=BD（对角线相等）。
由A-C得AB=CD；B-D得AD=BC（对边相等）。
∴ABCD是平行四边形（两组对边分别相等）。
∵平行四边形ABCD对角线相等，
∴ABCD是矩形。

例1 如图,已知AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE.求证:四边形BCDE是矩形.

答案： 证明：
1. 在△ABD和△ACE中，

∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE。
2.
∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB。

∵∠ABD=∠ACE，

∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE，即∠DBC=∠ECB，

∴BD//CE（内错角相等，两直线平行）。
3.
∵BD=CE且BD//CE，

∴四边形BDEC是平行四边形，

∴BC=DE且BC//DE（平行四边形对边平行且相等）。
4.
∵BC=DE且BC//DE，

∴四边形BCDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
5. 在△ABE和△ACD中，

∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠CAD=∠CAE+∠DAE，∠BAD=∠CAE，

∴∠BAE=∠CAD。
又
∵AB=AC，AE=AD，

∴△ABE≌△ACD（SAS），

∴BE=CD。
6.
∵四边形BCDE是平行四边形且对角线BE=CD，

∴四边形BCDE是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
结论：四边形BCDE是矩形。

例2 如图,在四边形ABCD中,P,Q,M,N分别是AD,BC,BD,AC的中点.
(1)求证:PQ,MN互相平分.
(2)当四边形ABCD的边满足什么条件时,PQ⊥MN?请说明理由.

答案：
(1)
证明：
连接$PM$、$QM$、$PN$、$QN$。
因为$M$、$N$分别是$BD$、$AC$的中点，$P$是$AD$中点，$Q$是$BC$中点，
在$\triangle ABD$中，$P$为$AD$中点，$M$为$BD$中点，根据三角形中位线定理，$PM// AB$且$PM = \frac{1}{2}AB$。
在$\triangle BCD$中，$Q$为$BC$中点，$M$为$BD$中点，根据三角形中位线定理，$QM// CD$且$QM=\frac{1}{2}CD$。
在$\triangle ACD$中，$P$为$AD$中点，$N$为$AC$中点，根据三角形中位线定理，$PN// CD$且$PN = \frac{1}{2}CD$。
在$\triangle ABC$中，$Q$为$BC$中点，$N$为$AC$中点，根据三角形中位线定理，$QN// AB$且$QN=\frac{1}{2}AB$。
所以$PM = QN$，$PN = QM$。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$PMQN$是平行四边形。
平行四边形的对角线互相平分，所以$PQ$、$MN$互相平分。
(2)
当$AB = CD$时，$PQ\perp MN$。
理由：
由
(1)知$PM=\frac{1}{2}AB$，$PN=\frac{1}{2}CD$，当$AB = CD$时，$PM = PN$。
一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以四边形$PMQN$是菱形。
菱形的对角线互相垂直，所以$PQ\perp MN$。

例3 如图,在四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠DCB=90°,EF分别是BD,AC的中点.请你说明EF与AC的位置关系.

答案： 连接AE、CE。
∵∠BAD=90°，E是BD中点，
∴在Rt△ABD中，AE=1/2BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
∵∠DCB=90°，E是BD中点，
∴在Rt△BCD中，CE=1/2BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
∴AE=CE，即△AEC是等腰三角形。
∵F是AC中点，
∴EF是等腰△AEC底边AC上的中线。
∴EF⊥AC（等腰三角形三线合一）。
结论：EF⊥AC。

例4 如图,过正方形ABCD的顶点B作直线BE平行于对角线AC,AE=AC(点E,C均在AB的同侧).求证:∠CAE=2∠BAE.

答案： 证明：
1. 设正方形ABCD对角线AC、BD交于点O，由正方形性质得AC⊥BD，AO=OC=BO=OD=1/2AC，∠BAC=45°。
2. 过E作EF⊥AC于F，
∵BE//AC，BO⊥AC，
∴四边形BOFE为矩形，故EF=BO=1/2AC。
3.
∵AE=AC，设AC=AE=2k，则EF=k。
4. 在Rt△AEF中，EF=1/2AE，
∴∠EAF=30°，即∠CAE=30°。
5.
∵∠BAC=45°，
∴∠BAE=∠BAC-∠CAE=45°-30°=15°。
6.
∴∠CAE=30°=2×15°=2∠BAE。
结论：∠CAE=2∠BAE。

例5 如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点M,P,N,Q分别在AO,BO,CO,DO上,且AM=BP=CN=DQ.求证:四边形MPNQ是矩形.

答案：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=CO=BO=DO（矩形对角线相等且互相平分）。
∵AM=BP=CN=DQ，
∴OM=AO-AM，OP=BO-BP，ON=CO-CN，OQ=DO-DQ，
∴OM=OP=ON=OQ。
∴四边形MPNQ是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵OM+ON=OP+OQ，即MN=PQ，
∴四边形MPNQ是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。

1. 如果一个多边形的每一个外角都是30°,则它的边数是12,对角线的条数是54,内角和是1800°.

答案： 12; 54; 1800°

2. 已知菱形ABCD的面积为96,对角线AC的长为16,则此菱形的边长为10.

答案： 10

3. 平行四边形的周长为20,若被两条对角线分成的相邻两个小三角形的周长之和为25,则对角线之和为15.

答案： 15

4. 如图,在长方形ABCD中,AB=3 cm,AD=4 cm,过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF,分别交AD,BC于点E,F,则AE的长为$$\frac{7}{8}$cm.$

答案： $\frac{7}{8}$