《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

例2 如图1,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的一条角平分线,AN为△ABC的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E.
(1)求证:四边形ADCE是矩形.
(2)如图2,连接DE,交AC于点F.
①试判断四边形ABDE的形状,并证明你的结论.
②线段DF与AB有怎样的关系？直接写出你的结论.
证明：(1)在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADC=90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN=∠CAN，∴∠DAE=90°，
∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形；
(2)①四边形ABDE是平行四边形，
证明：由(1)知，四边形ADCE为矩形，则AE=CD，AC=DE.
又∵AB=AC，BD=CD，
∴AB=DE，AE=BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
②DF//AB，DF=$\frac{1}{2}$AB.
理由：∵四边形ADCE为矩形，
∴AF=CF，
∵BD=CD，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF//AB，DF=$\frac{1}{2}$AB.

答案：
(1)在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADC=90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN=∠CAN，
∴∠DAE=90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形；
(2)①四边形ABDE是平行四边形，
证明：由
(1)知，四边形ADCE为矩形，则AE=CD，AC=DE.
又
∵AB=AC，BD=CD，
∴AB=DE，AE=BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
②DF//AB，DF=$\frac{1}{2}$AB.
理由：
∵四边形ADCE为矩形，
∴AF=CF，
∵BD=CD，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF//AB，DF=$\frac{1}{2}$AB.

例3 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD为中线,延长CD到点E,使得DE=CD,连接AE,BE.求四边形ACBE为矩形.

解：先证ACBE为□
∠ACB=90°
∴四边形ACBE为矩形

答案： 先证ACBE为□
∠ACB=90°
∴四边形ACBE为矩形

例4 如图,在□ABCD中,O是边BC的中点,连接DO并延长,交AB的延长线于点E,连接BD,EC.
(1)求证:四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A=50°,则当∠BOD= 100°时,四边形BECD是矩形,并说明理由.

解：(1)△BOE≌△COD(AAS)
∴OE=OD，BO=CO
∴四边形BECD是平行四边形
(2)理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠A=50°，
∵∠BOD=100°，
∴∠OBC+∠OCB=100°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=50°，
∴∠BCD=∠OCB=50°，
∴∠ECD=∠BCD+∠OCB=100°，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴∠ECD+∠BEC=180°，
∴∠BEC=80°，
∵∠BOD=100°，
∴∠BEC=∠BOD-∠OBC=100°-50°=50°，
∴∠BEC=∠BCE=50°，
∴BE=BC，
∴平行四边形BECD是菱形，
又∵∠BEC=90°时是矩形，此处原答案可能简略，按原文保留∠BOD=100°

答案： 100°;
(1)△BOE≌△COD(AAS)
∴OE=OD，BO=CO
∴四边形BECD是平行四边形
(2)理由：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠A=50°，
∵∠BOD=100°，
∴∠OBC+∠OCB=100°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=50°，
∴∠BCD=∠OCB=50°，
∴∠ECD=∠BCD+∠OCB=100°，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴∠ECD+∠BEC=180°，
∴∠BEC=80°，
∵∠BOD=100°，
∴∠BEC=∠BOD-∠OBC=100°-50°=50°，
∴∠BEC=∠BCE=50°，
∴BE=BC，
∴平行四边形BECD是菱形，
又
∵∠BEC=90°时是矩形，此处原答案可能简略，按原文保留∠BOD=100°

例5 如图,在□ABCD中,M是AD边的中点,且MB=MC.求证:四边形ABCD是矩形.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=DC，
∵M是AD边的中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中，
$\begin{cases}AM=DM \\AB=DC \\MB=MC\end{cases}$
∴△ABM≌△DCM(SSS)，
∴∠A=∠D，
∵∠A+∠D=180°，
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形.

答案：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=DC，
∵M是AD边的中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中，
$\begin{cases}AM=DM \\AB=DC \\MB=MC\end{cases}$
∴△ABM≌△DCM(SSS)，
∴∠A=∠D，
∵∠A+∠D=180°，
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形.

例6 如图,在矩形ABCD中,AD=6,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E.若ED=3BE,则AE的长为3.

解：设BE=x，则ED=3x，BD=BE+ED=4x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO=DO=$\frac{1}{2}$BD=2x，
∴OE=BO-BE=2x-x=x，
∵AE⊥BD，
∴在Rt△ABE中，AE²+BE²=AB²，
在Rt△AOE中，AE²+OE²=AO²，
∵AO=BO=2x，
∴AE²+x²=(2x)²，
AE²=4x²-x²=3x²，
又∵AD=6，在Rt△ABD中，AB²+AD²=BD²，
AB²+6²=(4x)²，
AB²=16x²-36，
∵AE²+BE²=AB²，
3x²+x²=16x²-36，
4x²=16x²-36，
12x²=36，
x²=3，
AE²=3x²=9，
AE=3.

答案： 3; 设BE=x，则ED=3x，BD=BE+ED=4x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO=DO=$\frac{1}{2}$BD=2x，
∴OE=BO-BE=2x-x=x，
∵AE⊥BD，
∴在Rt△ABE中，AE²+BE²=AB²，
在Rt△AOE中，AE²+OE²=AO²，
∵AO=BO=2x，
∴AE²+x²=(2x)²，
AE²=4x²-x²=3x²，
又
∵AD=6，在Rt△ABD中，AB²+AD²=BD²，
AB²+6²=(4x)²，
AB²=16x²-36，
∵AE²+BE²=AB²，
3x²+x²=16x²-36，
4x²=16x²-36，
12x²=36，
x²=3，
AE²=3x²=9，
AE=3.

1. 四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,下列各条件中,能判断四边形ABCD是矩形的是（B）

A.AO=CO,BO=DO
B.AO=BO=CO=DO
C.AC=BD,AO=CO
D.AO=CO,BO=DO,AC⊥BD

答案： B