《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

1. 定义:一般地,若变量x,y满足y=ax²+bx+c(a≠0),那么y叫做x的二次函数.

答案： y=ax²+bx+c(a≠0)

2. 图象的性质 函数 二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) a＞0 a＜0 图象 (1)抛物线开口向上,并向上无限延伸. (1)抛物线开口向下,并向下无限延伸. (2)对称轴是$$x=-\frac{b}{2a}$，$顶点坐标是$$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b²}{4a})$. (2)$对称轴是$$x=-\frac{b}{2a}$，$顶点坐标是$$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b²}{4a})$. (3)$在对称轴的左侧,即当$x＜-\frac{b}{2a}$时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当$x＞-\frac{b}{2a}$时,y随x的增大而增大. (3)在对称轴的左侧,即当$x＜-\frac{b}{2a}$时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即当$x＞-\frac{b}{2a}$时,y随x的增大而减小. (4)抛物线有最低点,当$$x=-\frac{b}{2a}$$时,y有最小值值为$$\frac{4ac-b²}{4a}$. (4)$抛物线有最高点,当$$x=-\frac{b}{2a}$$时,y有最大值值为$$\frac{4ac-b²}{4a}$.$

答案： 向上; 向下; $x=-\frac{b}{2a}$; $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b²}{4a})$; $x=-\frac{b}{2a}$; $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b²}{4a})$; 增大而减小; 增大而增大; 增大而增大; 增大而减小; $x=-\frac{b}{2a}$; 最小值; $\frac{4ac-b²}{4a}$; $x=-\frac{b}{2a}$; 最大值; $\frac{4ac-b²}{4a}$

3. 用待定系数法求二次函数的表达式. (1)已知图象上任意三点,通常选择一般式式,即y=ax²+bx+c.图象的顶点坐标为$$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b²}{4a})$,$对称轴为$$x=-\frac{b}{2a}$. (2)$已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式式,即y=a(x-h)²+k.图象的顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h. (3)已知图象与x轴的交点坐标,通常选用交点式,即y=a(x-x₁)(x-x₂),图象的对称轴为$$x=\frac{x₁+x₂}{2}$.$

答案： 一般式; y=ax²+bx+c; $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b²}{4a})$; $x=-\frac{b}{2a}$; 顶点式; y=a(x-h)²+k; (h,k); x=h; 交点; y=a(x-x₁)(x-x₂); $x=\frac{x₁+x₂}{2}$

4. 二次函数图象的平移 y=ax²——→y=ax²+k ↓ ↓ y=a(x-h)²——→y=a(x-h)²+k (a＞0,h＞0)

答案： 1. 抛物线 $ y = ax^2 $ 向上平移 $ k $ 个单位长度得到 $ y = ax^2 + k $；向下平移 $ |k| $ 个单位长度得到 $ y = ax^2 + k $（$ k ＜ 0 $）。
2. 抛物线 $ y = ax^2 $ 向右平移 $ h $ 个单位长度得到 $ y = a(x - h)^2 $；向左平移 $ |h| $ 个单位长度得到 $ y = a(x - h)^2 $（$ h ＜ 0 $）。
3. 抛物线 $ y = ax^2 $ 先向右平移 $ h $ 个单位长度，再向上平移 $ k $ 个单位长度得到 $ y = a(x - h)^2 + k $；或先向上平移 $ k $ 个单位长度，再向右平移 $ h $ 个单位长度得到 $ y = a(x - h)^2 + k $。

5. 抛物线中a,b,c的作用 (1)|a|决定开口大小;a的符号决定开口方向. (2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置. (3)c的大小决定抛物线y=ax²+bx+c与y轴交点的位置. (4)b²-4ac的符号决定与x轴交点个数. (5)2a+b的符号用$$x=-\frac{b}{2a}$$与x=1比较大小得到;2a-b的符号用$$x=-\frac{b}{2a}$$与x=-1比较大小得到.

答案： 开口大小; 开口方向; 对称轴; y轴; 与x轴交点个数; $x=-\frac{b}{2a}$; $x=-\frac{b}{2a}$