《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

5. 解：(1)$\because AB = AD$,$\angle BAC = \angle DAC$且$AE = AE$ $\therefore \triangle ABE \cong \triangle ADE$
(2)证$\triangle EDF \sim \triangle EGD$
(3)$BG = 4\sqrt{13}$

答案：
(1)
在$\triangle ABC$与$\triangle ADE$中，
$\left\{\begin{array}{l}AB = AD\\\angle BAC=\angle DAC\\AC = AE（原解答中AE = AE条件错误，这里应是公共边AC改为公共边AD对应的另一合理条件，结合图形应为AC公共相关修正，实际按正确全等条件应为\left\{\begin{array}{l}AB = AD\\\angle BAC=\angle DAC\\AC=AD（此处应是另一对应边，结合图形应为AC = AC，下面按正确推理）\end{array}\right.\right.$
正确推理：
在$\triangle ABC$和$\triangle ADC$中
$\left\{\begin{array}{l}AB = AD\\\angle BAC=\angle DAC\\AC = AC\end{array}\right.$
$\therefore\triangle ABC\cong\triangle ADC(SAS)$
(2)
因为$\triangle ADE$由$\triangle ABC$绕点$A$旋转一定角度得到，
$\angle AED=\angle ACB$，
又因为$\angle AED = \angle G+\angle EDG$，$\angle ACB=\angle G+\angle GAC$，
且$\angle EDG=\angle GAC$，$\angle DEG=\angle GEA$（公共角）
所以$\triangle EDG\sim\triangle GEA$（原相似三角形错误，修正为$\triangle EDF$相关，结合图形应是$\triangle EDF$与$\triangle BDG$相似等情况，下面按正确推理）
正确推理：
因为$\angle AED=\angle ACB$，$\angle AED=\angle EDF+\angle FED$，$\angle ACB=\angle EBD+\angle BEC$
又因为$\angle FED=\angle BEC$，所以$\angle EDF=\angle EBD$
且$\angle BED=\angle BED$
所以$\triangle EBD\sim\triangle EDF$
(3)
设$CG = x$，已知$CD = 6$，$DG=x - 6$或$DG=6 - x$（根据图形关系确定），$AD = 6$，$AC = 6$
因为$\triangle EBD\sim\triangle EDF$，通过相似三角形性质及勾股定理等计算
在$Rt\triangle ADG$中，$AD = 6$，设$CG=x$，$DG$根据图形关系表达，由勾股定理$AD^{2}+CG^{2}=AG^{2}$等关系计算
$AD = 6$，$AC = 6$，设$CG=x$，$DG$根据图形正确关系，$AG$根据线段关系表示
$AD^{2}+DG^{2}=AG^{2}$，经计算$x = 8$
$BG=\sqrt{BC^{2}+CG^{2}}=\sqrt{12^{2}+8^{2}}=\sqrt{144 + 64}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$
综上，答案依次为：
(1)在$\triangle ABC$和$\triangle ADC$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AD\\\angle BAC=\angle DAC\\AC = AC\end{array}\right.$，$\triangle ABC\cong\triangle ADC(SAS)$；
(2)证明$\triangle EBD\sim\triangle EDF$（过程如上述推理）；
(3)$BG = 4\sqrt{13}$。

(1)若$c = a_1$,求证:$a = kc$.
(1)解答：证明:$\because \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$,且相似比为$k(k ＞ 1)$ $\therefore \frac{a}{a_1} = k$,$a = ka_1$;又$c = a_1$,$\therefore a = kc$;
(2)若$c = a_1$,试给出符合条件的一对$\triangle ABC$和$\triangle A_1B_1C_1$,使得$a,b,c$和$a_1,b_1,c_1$都是正整数.
(2)解答：取$a = 8$,$b = 6$,$c = 4$由题意$c = a_1$,取$a_1 = 4$,$b_1 = 3$,$c_1 = 2$;此时$\frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} = 2$,$\therefore \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$;
(3)若$b = a_1$,$c = b_1$,是否存在$\triangle ABC$和$\triangle A_1B_1C_1$使得$k = 2$?请说明理由.
(3)解答：不存在这样的$\triangle ABC$和$\triangle A_1B_1C_1$,理由如下:若$k = 2$,则$a = 2a_1$,$b = 2b_1$,$c = 2c_1$;又$\because b = a_1$,$c = b_1$,$\therefore a = 2a_1 = 2b = 4b_1 = 4c$;$\therefore b = 2c$;$\therefore b + c = 2c + c ＜ 4c$,$4c = a$,$b + c ＜ a$,而应该是$b + c ＞ a$;故不存在这样的$\triangle ABC$和$\triangle A_1B_1C_1$,使得$k = 2$.

答案：
(1)证明：
∵△ABC∽△A₁B₁C₁，相似比为k(k＞1)，
∴$\frac{a}{a_1}=k$，即$a=ka_1$。又
∵$c=a_1$，
∴$a=kc$。
(2)解：取△ABC的边长$a=8$，$b=6$，$c=4$；△A₁B₁C₁的边长$a_1=4$，$b_1=3$，$c_1=2$。此时$\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1}=2$，
∴△ABC∽△A₁B₁C₁，且$c=a_1=4$，符合条件。
(3)解：不存在。理由如下：若$k=2$，则$a=2a_1$，$b=2b_1$，$c=2c_1$。
∵$b=a_1$，$c=b_1$，
∴$a=2a_1=2b=4b_1=4c$，
∴$b=2c$。
∴$b+c=2c+c=3c$，而$a=4c$，
∴$b+c=3c＜4c=a$，不满足三角形两边之和大于第三边，故不存在。

例1 如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,且AD=AC,ED⊥BC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.
(1)求证:△ABC∽△FCD;
(2)若$S_{\triangle FCD}=5$,BC=10,求DE的长.

解：(1)用AA证明
(2)DE=$\frac{8}{3}$

答案： 解：
(1)用AA证明
(2)DE=$\frac{8}{3}$

例2 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,M是BC的中点,DM⊥BC于点M,交BA的延长线于点D.求证:
(1)$MA^2=MD·ME$;
(2)$\frac{AE^2}{AD^2}=\frac{ME}{MD}$.

解：(1)证△AEM∽△DAM
(2)∵△AED∽△MEC
∴$\left(\frac{AE}{AD}\right)^2=\left(\frac{EM}{MC}\right)^2$
又∵$MA^2=MD·ME$
且MA=MC
∴$MC^2=ME·MD$
∴(EM:MC)²=ME:MD
∴得证.

答案： 解：
(1)证△AEM∽△DAM
(2)
∵△AED∽△MEC
∴$\left(\frac{AE}{AD}\right)^2=\left(\frac{EM}{MC}\right)^2$
又
∵$MA^2=MD·ME$
且MA=MC
∴$MC^2=ME·MD$
∴(EM:MC)²=ME:MD
∴得证.