《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

1. 把平行四边形纸片割补成一个矩形,怎样操作能使分割线的条数最少?

答案： 1. 过平行四边形一顶点作一边的垂线，沿此垂线剪下一个直角三角形。
2. 将剪下的直角三角形平移，使斜边与平行四边形另一组对边的剩余部分拼接。
3. 此时得到一个矩形，分割线为1条。
结论：分割线最少条数为1条。

2. 把矩形纸片割补成一个角为60°的平行四边形,怎样操作能使分割线的条数最少?
通过上述活动,你获得了哪些经验?
(请与你的同伴交流)
试一试:由两个正方形组成的纸片如图所示,把它割补成一个更大的正方形,并使分割线的条数最少.
阅读与思考
完美矩形与完美正方形
如图1,一个矩形是由6个正方形组成的,如果知道中间最小正方形的面积是1,你能求出矩形的面积吗?
容易看出,图1中的正方形有两个是一样大的,如果一个矩形的内部能用一些大小各不相同的正方形铺满(既不重叠也无缝隙),就称它为完美矩形.1936年,英国剑桥大学的4名学生把一个矩形分成大小各不相同的9个正方形(可以证明完美矩形最少由9个大小各不相同的正方形铺成),如图2,图中数字表示相应正方形的边长.
那么如何寻求矩形的正方形分割呢?办法是先作一个矩形的正方形分割的草图,然后用尽可能少的未知数标出每个正方形的边长,再写出这些边长应满足的关系式,最后通过解方程组而得到.如图4,先标出相邻三个正方形的边长x,y,z,然后不难按下列顺序标出其余正方形的边长:x+y,2x+y,y-z,y-2z,y-3z,2y-5z,由矩形对边相等的条件,可得出

$\begin{cases}(2y - 5z)+(y - 2z)+(y - z)=(2x + y)+(x + y), \\(2x + y)+(2y - 5z)=(x + y)+y+(y - z),\end{cases}$
即$\begin{cases}3x - 2y + 8z = 0, \\x - 4z = 0.\end{cases}$
令z=1,得x=4,y=10.代入图中即可,这就是图2.
如果一个大正方形能由边长为互不相等的整数的小正方形铺满,我们就称这个大正方形是完美正方形.图3所示是1978年被荷兰数学家用大型计算机算出的一个完美正方形,这个完美正方形含有小正方形的个数为21,说成是21阶(图中最小的正方形边长没有填写,你知道它的边长应是多少吗?).其后,荷兰、苏联的数学家证明小于或等于20阶的完美正方形不存在.

答案：
第一部分：分割线1条；经验：利用平移拼接，构造目标角度分割线。
第二部分：分割线2条。
第三部分：矩形面积143。