《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

例2 如图,若正方形$OABC$的顶点$B$和正方形$ADEF$的顶点$E$都在函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上,则点$E$的坐标是$(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\frac{\sqrt{5}-1}{2})$.

答案： $(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\frac{\sqrt{5}-1}{2})$

变式 如图,$\triangle P_{1}OA_{1}$和$\triangle P_{2}A_{1}A_{2}$是等腰直角三角形,点$P_{1},P_{2}$在函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上,斜边$OA_{1},A_{1}A_{2}$都在$x$轴上,则点$P_{2}$的坐标是$(2\sqrt{2}+2,2\sqrt{2}-2)$.

答案： $(2\sqrt{2}+2,2\sqrt{2}-2)$

例3 如图,一次函数$y=ax+b$的图象与$x$轴相交于点$A$,与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象相交于$B(1,7)$,$C(t,1)$两点.
(1)求反比例函数的表达式和一次函数的表达式;
(2)若$P$为$x$轴上一动点,连接$CP$,将线段$CP$绕点$P$逆时针旋转$90^{\circ}$,点$C$的对应点$Q$恰好也落在这个反比例函数图象上,请求出点$Q$的坐标.
解:(1)∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象过点$B(1,7)$和$C(t,1)$,
∴ $k=1×7=t×1$,
∴ $k=7$,$t=7$,
∴ 反比例函数表达式为$y=\frac{7}{x}$,
把$B(1,7)$和$C(7,1)$代入$y=ax+b$得$\begin{cases}a+b=7, \\7a+b=1\end{cases}$,
解得$\begin{cases}a=-1, \\b=8\end{cases}$,
∴ 一次函数表达式为$y=-x+8$;
(2)设$Q(m,)$,

过$Q$作$QM\perp x$轴于$M$,过$C$作$CN\perp x$轴于$N$,
∴ $\angle QMP=\angle CNP=90^{\circ}$,
∵ 将线段$CP$绕点$P$逆时针旋转$90^{\circ}$,
∴ $\angle CPQ=90^{\circ}$,
∴ $\angle MQP+\angle QPM=\angle QPM+\angle CPN=90^{\circ}$,
∴ $\angle QPM=\angle CPN$,
∵ $CP=QP$,
∴ $\triangle QPM\cong\triangle PCN(AAS)$,
∴ $MP=CN=1$,$QM=PN=\frac{7}{m}$,
∵ $OM+MP+PN=7$,
∴ $m+1+\frac{7}{m}=7$,
∴ $m=3+\sqrt{2}$或$m=3-\sqrt{2}$,
∴ $Q(3+\sqrt{2},3-\sqrt{2})$或$(3-\sqrt{2},3+\sqrt{2})$.

答案：
解:
(1)
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象过点$B(1,7)$和$C(t,1)$,
∴ $k=1×7=t×1$,
∴ $k=7$,$t=7$,
∴ 反比例函数表达式为$y=\frac{7}{x}$,
把$B(1,7)$和$C(7,1)$代入$y=ax+b$得$\begin{cases}a+b=7, \\7a+b=1\end{cases}$,
解得$\begin{cases}a=-1, \\b=8\end{cases}$,
∴ 一次函数表达式为$y=-x+8$;
(2)设$Q(m,)$,

过$Q$作$QM\perp x$轴于$M$,过$C$作$CN\perp x$轴于$N$,
∴ $\angle QMP=\angle CNP=90^{\circ}$,
∵ 将线段$CP$绕点$P$逆时针旋转$90^{\circ}$,
∴ $\angle CPQ=90^{\circ}$,
∴ $\angle MQP+\angle QPM=\angle QPM+\angle CPN=90^{\circ}$,
∴ $\angle QPM=\angle CPN$,
∵ $CP=QP$,
∴ $\triangle QPM\cong\triangle PCN(AAS)$,
∴ $MP=CN=1$,$QM=PN=\frac{7}{m}$,
∵ $OM+MP+PN=7$,
∴ $m+1+\frac{7}{m}=7$,
∴ $m=3+\sqrt{2}$或$m=3-\sqrt{2}$,
∴ $Q(3+\sqrt{2},3-\sqrt{2})$或$(3-\sqrt{2},3+\sqrt{2})$.

例4 如图,直线$y=\frac{1}{2}x+2$分别交$x$轴、$y$轴于点$A$和点$C$,$P$是该直线上在第一象限内的一点,$PB\perp x$轴,$B$为垂足,且$S_{\triangle ABP}=9$.
(1)求点$P$的坐标.
(2)若点$P$与点$R$在同一个反比例函数的图象上,且点$R$在直线$PB$的右侧,作$RT\perp x$轴,$T$为垂足,当$\triangle BRT$和$\triangle AOC$相似时,求点$R$的坐标.

解:(1)$P(2,3)$
(2)$R(\sqrt{13}+1,\frac{\sqrt{13}-1}{2})$,$(3,2)$
反馈用
A组

答案： 解:
(1)$P(2,3)$
(2)$R(\sqrt{13}+1,\frac{\sqrt{13}-1}{2})$,$(3,2)$