《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

5. 如图，已知矩形OABC的面积为$\frac{100}{3}$，它的对角线OB与双曲线$y = \frac{k}{x}$相交于点D，且OB:OD = 5:3，则k的值是多少？

解：k = 12

答案： 解：k = 12

如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数$y = \frac{m}{x}$与$y = \frac{n}{x}(x ＞ 0, 0 ＜ m ＜ n)$的图象上，对角线BD//y轴，且BD⊥AC于点P。已知点B的横坐标为4。
(1)当$m = 4$，$n = 20$时：
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的解析式；
②若P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由。
(2)四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由。

解：(1)①$y = -\frac{1}{2}x + 3$ ②菱形 (2)能，$m + n = 32$

答案： 解：
(1)①$y = -\frac{1}{2}x + 3$ ②菱形
(2)能，$m + n = 32$

1. 点在函数图象上是指点的坐标满足函数解析式.

答案： 满足; 函数解析式

2. 求两个函数图象的交点,就是把两个函数表达式当成方程而组成的方程组的解.

答案： 方程组

例1 如图,一次函数$y_{1}=kx+b$与反比例函数$y_{2}=\frac{m}{x}$的图象相交于$A(1,6)$,$B(6,1)$两点,连接$AO$,$BO$,延长$AO$交反比例函数的图象于点$C$.
(1)求一次函数$y_{1}$的表达式与反比例函数$y_{2}$的表达式;
(2)当$y_{1}＞y_{2}$时,直接写出自变量$x$的取值范围;
(3)$P$是$x$轴上一点,当$S_{\triangle PAC}=\frac{6}{7}S_{\triangle AOB}$时,求出点$P$的坐标.

解:(1)∵ 一次函数$y_{1}=kx+b$与反比例函数$y_{2}=\frac{m}{x}$的图象相交于$A(1,6)$,$B(6,1)$两点,
∴ $m=6$,
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$,
∵ $A(1,6)$,$B(6,1)$两点在一次函数图象上,
$\begin{cases}k+b=6, \\6k+b=1\end{cases}$,解得$\begin{cases}k=-1, \\b=7\end{cases}$,
∴ 一次函数解析式为$y=-x+7$.
(2)由反比例函数对称性可得点$C(-1,-6)$,

由图象可知,当$y_{1}＞y_{2}$时,自变量$x$的取值范围为:$1＜x＜6$或$x＜0$.
(3)根据题意,$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}×7×7-\frac{1}{2}×7×1-\frac{1}{2}×7×1=\frac{49-14}{2}=\frac{35}{2}$,
∵ $S_{\triangle PAC}=\frac{6}{7}S_{\triangle AOB}$时,
∴ $S_{\triangle PAC}=\frac{6}{7}×\frac{35}{2}=15$,
设点$P$坐标为$(m,0)$,点$C(-1,-6)$,
∴ $S_{\triangle PAC}=S_{\triangle POA}+S_{\triangle POC}=\frac{1}{2}×|m|×6+\frac{1}{2}×|m|×6=15$,
解得$m=\pm\frac{5}{2}$,
∴ $P(-\frac{5}{2},0)$或$(\frac{5}{2},0)$.

答案：
解:
(1)
∵ 一次函数$y_{1}=kx+b$与反比例函数$y_{2}=\frac{m}{x}$的图象相交于$A(1,6)$,$B(6,1)$两点,
∴ $m=6$,
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$,
∵ $A(1,6)$,$B(6,1)$两点在一次函数图象上,
$\begin{cases}k+b=6, \\6k+b=1\end{cases}$,解得$\begin{cases}k=-1, \\b=7\end{cases}$,
∴ 一次函数解析式为$y=-x+7$.
(2)由反比例函数对称性可得点$C(-1,-6)$,

由图象可知,当$y_{1}＞y_{2}$时,自变量$x$的取值范围为:$1＜x＜6$或$x＜0$.
(3)根据题意,$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}×7×7-\frac{1}{2}×7×1-\frac{1}{2}×7×1=\frac{49-14}{2}=\frac{35}{2}$,
∵ $S_{\triangle PAC}=\frac{6}{7}S_{\triangle AOB}$时,
∴ $S_{\triangle PAC}=\frac{6}{7}×\frac{35}{2}=15$,
设点$P$坐标为$(m,0)$,点$C(-1,-6)$,
∴ $S_{\triangle PAC}=S_{\triangle POA}+S_{\triangle POC}=\frac{1}{2}×|m|×6+\frac{1}{2}×|m|×6=15$,
解得$m=\pm\frac{5}{2}$,
∴ $P(-\frac{5}{2},0)$或$(\frac{5}{2},0)$.