《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

6. 求下列抛物线的解析式.
(1)形状与$y=-\frac{1}{5}x^{2}+4$的图象形状相同,但开口方向不同,顶点坐标是$(0,-3)$;
(2)对称轴是$y$轴,顶点的纵坐标是6,且经过点$(1,2)$.
解$:(1)y=\frac{1}{5}x^{2}+C$过(0,-3)∴$y=\frac{1}{5}x^{2}-3(2)y=-4x^{2}+6$

答案： 解$:(1)y=\frac{1}{5}x^{2}+C$过(0,-3)
∴$y=\frac{1}{5}x^{2}-3(2)y=-4x^{2}+6$

在平面直角坐标系中,抛物线$y_{1}=2x^{2}+\frac{1}{4}$的顶点为$M$,直线$y_{2}=x$,$P(n,0)$为$x$轴上的一个动点,过点$P$作$x$轴的垂线分别交抛物线$y_{1}$和直线$y_{2}$于点$A,B$.
(1)直接写出$A,B$两点的坐标(用含$n$的代数式表示);
(2)设线段$AB$的长为$d$,求$d$关于$n$的函数关系式及$d$的最小值,并直接写出此时线段$OB$与线段$PM$的位置关系和数量关系;
(3)已知二次函数$y=ax^{2}+bx +c(a,b,c$为整数且$a≠0)$,对一切实数$x$恒有$x≤y≤2x^{2}+\frac{1}{4}$,求$a,b,c$的值.
解:(1)当x=n时$,y₁=2n² +\frac{1}{4},y₂=n;$∴$A(n,2n² +\frac{1}{4}),B(n,n).$
(2)d=AB=|$y_{A}-y_{B}$|=|$2n² -n +\frac{1}{4}$|.∴d=|$2(n -\frac{1}{4})^{2}+\frac{1}{8}$|$=2(n -\frac{1}{4})^{2}+\frac{1}{8}.$∴当$n=\frac{1}{4}$时,d取得最小值$\frac{1}{8}.$此时$,B(\frac{1}{4},\frac{1}{4}),$而$M(0,\frac{1}{4})、$$P(\frac{1}{4},0)$∴四边形OMBP是正方形∴当d取最小值时,线段OB与线段PM的位置关系和数量关系是OB⊥PM且OB=PM.(如图)

(3)∵对一切实数x恒有$x≤y≤2x² +\frac{1}{4}，$∴对一切实数$x,x≤ax² +bx +c≤2x² +\frac{1}{4}$都成立.(a≠0)①当x=0时,①式化为$0≤c≤\frac{1}{4}.$∴整数c的值为0.此时,对一切实数$x,x≤ax² +bx≤2x² +\frac{1}{4}$都成立.(a≠0)即${x≤ax² +bx②,ax² +bx≤2x² +\frac{1}{4}③}$对一切实数x均成立.由②得ax² +(b -1)x≥0(a≠0)对一切实数x均成立.∴{a＞0④,Δ₁=(b -1)² ≤0⑤}由⑤得整数b的值为1.此时由③式得$,ax² +x≤2x² +\frac{1}{4}$对一切实数x均成立.(a≠0)即$(2 -a)x² -x +\frac{1}{4}≥0$对一切实数x均成立.(a≠0)当a=2时,此不等式化为$ -x +\frac{1}{4}≥0,$不满足对一切实数x均成立.当a≠2时,∵$(2 -a)x² -x +\frac{1}{4}≥0$对一切实数x均成立,(a≠0)∴${2 -a＞0⑥,Δ₂=(-1)² -4×(2 -a)×\frac{1}{4} ≤0⑦}$∴由④,⑥,⑦得0＜a≤1.∴整数a的值为1.∴整数a,b,c的值分别为a=1,b=1,c=0.

答案： 解:
(1)当x=n时$,y₁=2n² +\frac{1}{4},y₂=n;$
∴$A(n,2n² +\frac{1}{4}),B(n,n).$
(2)d=AB=|$y_{A}-y_{B}$|=|$2n² -n +\frac{1}{4}$|.
∴d=|$2(n -\frac{1}{4})^{2}+\frac{1}{8}$|$=2(n -\frac{1}{4})^{2}+\frac{1}{8}.$
∴当$n=\frac{1}{4}$时,d取得最小值$\frac{1}{8}.$此时$,B(\frac{1}{4},\frac{1}{4}),$而$M(0,\frac{1}{4})、$$P(\frac{1}{4},0)$
∴四边形OMBP是正方形
∴当d取最小值时,线段OB与线段PM的位置关系和数量关系是OB⊥PM且OB=PM.(如图);
(3)
∵对一切实数x恒有$x≤y≤2x² +\frac{1}{4}，$
∴对一切实数$x,x≤ax² +bx +c≤2x² +\frac{1}{4}$都成立.(a≠0)①当x=0时,①式化为$0≤c≤\frac{1}{4}.$
∴整数c的值为0.此时,对一切实数$x,x≤ax² +bx≤2x² +\frac{1}{4}$都成立.(a≠0)即${x≤ax² +bx②,ax² +bx≤2x² +\frac{1}{4}③}$对一切实数x均成立.由②得ax² +(b -1)x≥0(a≠0)对一切实数x均成立.
∴{a＞0④,Δ₁=(b -1)² ≤0⑤}由⑤得整数b的值为1.此时由③式得$,ax² +x≤2x² +\frac{1}{4}$对一切实数x均成立.(a≠0)即$(2 -a)x² -x +\frac{1}{4}≥0$对一切实数x均成立.(a≠0)当a=2时,此不等式化为$ -x +\frac{1}{4}≥0,$不满足对一切实数x均成立.当a≠2时,
∵$(2 -a)x² -x +\frac{1}{4}≥0$对一切实数x均成立,(a≠0)
∴${2 -a＞0⑥,Δ₂=(-1)² -4×(2 -a)×\frac{1}{4} ≤0⑦}$
∴由④,⑥,⑦得0＜a≤1.
∴整数a的值为1.
∴整数a,b,c的值分别为a=1,b=1,c=0.