《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

(1)由题意得,
$\begin{cases}6=c\\0=36a+2×6+c\end{cases}$,
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\c=6\end{cases}$,
∴这条抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2+2x+6$.
∵$y=-\frac{1}{2}x^2+2x+6=-\frac{1}{2}(x-2)^2+8$,
∴其顶点坐标为(2,8)；
(2)设直线AB的解析式为$y=kx+b$,
∵A(0,6),B(6,0),
∴$\begin{cases}b=6\\6k+b=0\end{cases}$,
∴$\begin{cases}k=-1\\b=6\end{cases}$,
∴直线AB的解析式为$y=-x+6$,
设P(m,$-\frac{1}{2}m^2+2m+6$),
∵PD//y轴,
∴D(m,-m+6),
∴$PD=-\frac{1}{2}m^2+2m+6-(-m+6)=-\frac{1}{2}m^2+3m=-\frac{1}{2}(m-3)^2+\frac{9}{2}$,
∴当m=3时,PD的最大值=$\frac{9}{2}$,此时P(3,$\frac{15}{2}$)(1)由题意得,
$\begin{cases}6=c\\0=36a+2×6+c\end{cases}$,
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\c=6\end{cases}$,
∴这条抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2+2x+6$.
∵$y=-\frac{1}{2}x^2+2x+6=-\frac{1}{2}(x-2)^2+8$,
∴其顶点坐标为(2,8)；
(2)设直线AB的解析式为$y=kx+b$,
∵A(0,6),B(6,0),
∴$\begin{cases}b=6\\6k+b=0\end{cases}$,
∴$\begin{cases}k=-1\\b=6\end{cases}$,
∴直线AB的解析式为$y=-x+6$,
设P(m,$-\frac{1}{2}m^2+2m+6$),
∵PD//y轴,
∴D(m,-m+6),
∴$PD=-\frac{1}{2}m^2+2m+6-(-m+6)=-\frac{1}{2}m^2+3m=-\frac{1}{2}(m-3)^2+\frac{9}{2}$,
∴当m=3时,PD的最大值=$\frac{9}{2}$,此时P(3,$\frac{15}{2}$)

答案：
(1)由题意得,
$\begin{cases}6=c\\0=36a+2×6+c\end{cases}$,
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\c=6\end{cases}$,
∴这条抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2+2x+6$.
∵$y=-\frac{1}{2}x^2+2x+6=-\frac{1}{2}(x-2)^2+8$,
∴其顶点坐标为(2,8)；
(2)设直线AB的解析式为$y=kx+b$,
∵A(0,6),B(6,0),
∴$\begin{cases}b=6\\6k+b=0\end{cases}$,
∴$\begin{cases}k=-1\\b=6\end{cases}$,
∴直线AB的解析式为$y=-x+6$,
设P(m,$-\frac{1}{2}m^2+2m+6$),
∵PD//y轴,
∴D(m,-m+6),
∴$PD=-\frac{1}{2}m^2+2m+6-(-m+6)=-\frac{1}{2}m^2+3m=-\frac{1}{2}(m-3)^2+\frac{9}{2}$,
∴当m=3时,PD的最大值=$\frac{9}{2}$,此时P(3,$\frac{15}{2}$)

(1)由于抛物线经过B(-1,0),C(0,-1),
则有:$\begin{cases}\frac{1}{2}×(-1)^2+2b+c=0\\c=-1\end{cases}$,
解得$\begin{cases}b=-\frac{1}{2}\\c=-1\end{cases}$；
故抛物线的解析式为:$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1$.
(2)如图,连接OE,AE
当y=0,则$0=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1$,
解得:$x_1=2,x_2=-1$,
则A(2,0),设E(x,$\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1$),
故△ACE的面积:
$S=S_{\triangle AOE}+S_{\triangle OCE}-S_{\triangle AOC}$
$=\frac{1}{2}×2×[ -(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1)+\frac{1}{2}×1× x-\frac{1}{2}×1×2]$
$=-\frac{1}{2}x^2+x$
$=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2}$,
因此当x=1,
即E(1,-1)时,△ACE的面积最大,且最大值为$\frac{1}{2}$(1)由于抛物线经过B(-1,0),C(0,-1),
则有:$\begin{cases}\frac{1}{2}×(-1)^2+2b+c=0\\c=-1\end{cases}$,
解得$\begin{cases}b=-\frac{1}{2}\\c=-1\end{cases}$；
故抛物线的解析式为:$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1$.
(2)如图,连接OE,AE
当y=0,则$0=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1$,
解得:$x_1=2,x_2=-1$,
则A(2,0),设E(x,$\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1$),
故△ACE的面积:
$S=S_{\triangle AOE}+S_{\triangle OCE}-S_{\triangle AOC}$
$=\frac{1}{2}×2×[ -(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1)+\frac{1}{2}×1× x-\frac{1}{2}×1×2]$
$=-\frac{1}{2}x^2+x$
$=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2}$,
因此当x=1,
即E(1,-1)时,△ACE的面积最大,且最大值为$\frac{1}{2}$

答案：
(1)由于抛物线经过B(-1,0),C(0,-1),
则有:$\begin{cases}\frac{1}{2}×(-1)^2+2b+c=0\\c=-1\end{cases}$,
解得$\begin{cases}b=-\frac{1}{2}\\c=-1\end{cases}$；
故抛物线的解析式为:$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1$.
(2)如图,连接OE,AE
当y=0,则$0=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1$,
解得:$x_1=2,x_2=-1$,
则A(2,0),设E(x,$\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1$),
故△ACE的面积:
$S=S_{\triangle AOE}+S_{\triangle OCE}-S_{\triangle AOC}$
$=\frac{1}{2}×2×[ -(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1)+\frac{1}{2}×1× x-\frac{1}{2}×1×2]$
$=-\frac{1}{2}x^2+x$
$=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2}$,
因此当x=1,
即E(1,-1)时,△ACE的面积最大,且最大值为$\frac{1}{2}$

1.已知二次函数$y=x^2-2(m-1)x+m^2-2m-3$的图象与函数$y=-x^2+6x$的图象交于y轴一点,则m=-1或3.

答案： -1或3

2.已知二次函数$y=(m-2)x^2+(m+3)x+(m+2)$的图象经过点(0,5).
(1)求m的值,并写出二次函数的表达式；
(2)求出二次函数的顶点坐标和对称轴.
(1)m=3
$y=x^2+6x+5$
(2)$y=(x+3)^2-4$
顶点(-3,-4)
对称轴x=-3

答案：
(1)m=3
$y=x^2+6x+5$
(2)$y=(x+3)^2-4$
顶点(-3,-4)
对称轴x=-3