《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

实际问题中常见的等量关系：
(1)工程问题:工作总量=工作效率×______.
工作时间
(2)行程问题:路程=______×时间.
相遇问题:两者路程______=全程.
追及问题:快者路程=慢者路程+______.
速度和初始距离
(3)利润问题：
利润=销售价-______；
利润率=______×100%；
销售价=(1+利润率)×进货价；
总利润=每件商品的利润×______.
进价$\frac{利润}{进价}$件数
(4)利息问题:利息=本金×______×期数;本息和=本金+______.
利率利息
(5)增长率问题:如果把基数用a表示,把末数用b表示,增长率(下降率)用x表示,增长(减少)次数用n表示,则增长率问题的等量关系可表示为______（在初中阶段,n通常取2）.
$a(1\pm x)^n=b$

答案： 工作时间; 速度; 和; 初始距离; 进价; $\frac{利润}{进价}$; 件数; 利率; 利息; $a(1\pm x)^n=b$

根据下列对话,解决问题.
经理:前段时间以单价20元进的T恤衫销售得怎么样?
销售人员:还不错,若以单价35元销售，每天可以销售600件;若单价每降低1元,则可多售出20件.
(1)单价为34元时,每天实际销售量为______件;单价为32元时,每天实际销售量为______件;单价为x元时,每天实际销售量为______件.
620660(1300-20x)
(2)当一件的售价为x元时,每天可获得的利润为______元.
(-20x²+1700x-26000)
(3)若一件的售价降低了1元,每天实际销售量为______件;单价降低了2元,每天实际销售量为______件;单价降低了3元,每天实际销售量为______件;单价降低了y元,每天实际销售量为______件.
620640660(600+20y)
(4)若一件的售价降低了y元,每天可获得的利润为______元.
(-20y²-300y+9000)

答案： 620; 660; (1300-20x); (-20x²+1700x-26000); 620; 640; 660; (600+20y); (-20y²-300y+9000)

例1 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克. 若商店想在月销售成本不超过1万元的情况下，使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
解:设每件需涨价x元,则销售价为(50+x)元. 月销售利润为y元.
由利润=（售价-进价）×销售量,可得y=(50+x-40)×(500-10x),
令y=8000,解得$x_1=10$,$x_2=30$.
当$x_1=10$时,销售价为60元,月销售量为400千克,则成本价为40×400=16000（元）,超过了10000元,不合题意,舍去;
当$x_2=30$时,销售价为80元,月销售量为200千克,则成本价为40×200=8000(元),低于10000元,符合题意.
故销售价为80元.
例2 某省为解决农村饮用水问题,省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助. 2020年,A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”,计划以后每年以相同的增长率投资,2022年该市计划投资“改水工程”1176万元.

答案： 解:设每件需涨价x元,则销售价为(50+x)元. 月销售利润为y元.
由利润=（售价-进价）×销售量,可得y=(50+x-40)×(500-10x),
令y=8000,解得$x_1=10$,$x_2=30$.
当$x_1=10$时,销售价为60元,月销售量为400千克,则成本价为40×400=16000（元）,超过了10000元,不合题意,舍去;
当$x_2=30$时,销售价为80元,月销售量为200千克,则成本价为40×200=8000(元),低于10000元,符合题意.
故销售价为80元.

(1)求A市投资“改水工程”的年平均增长率；
解:(1)设A市投资“改水工程”的年平均增长率为x,根据题意,得
600(1+x)²=1176,
解得$x_1=0.4$或$x_2=-2.4$(不合题意,舍去)
所以A市投资“改水工程”的年平均增长率为40%.

答案： 解:
(1)设A市投资“改水工程”的年平均增长率为x,根据题意,得
600(1+x)²=1176,
解得$x_1=0.4$或$x_2=-2.4$(不合题意,舍去)
所以A市投资“改水工程”的年平均增长率为40%.