《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

变式 如图,在⊙O中,AB为弦,OC⊥AB于点D,AB=6 cm,CD=1 cm.求⊙O的半径OA.

解:OA=5

答案： 解：
由于 $OC \perp AB$ 于点 $D$，根据垂径定理，得 $AD = \frac{1}{2} AB = 3$（$cm$）。
设 $\odot O$ 的半径 $OA$ 为 $r$，则 $OD = r - CD = r - 1$。
在 $Rt \triangle AOD$ 中，根据勾股定理，有：
$OA^2 = AD^2 + OD^2$，
即：
$r^2 = 3^2 + (r - 1)^2$，
$r^2 = 9 + r^2 - 2r + 1$，
$2r = 10$，
$r = 5$。
所以，$\odot O$ 的半径 $OA$ 为 $5 cm$。

例2 如图所示是以点O为公共圆心的两个同心圆,大圆的弦AB交小圆于点C,D.
(1)求证:AC=DB;
(2)若AB=6,CD=4,求圆环的面积.

解:(1)略;(2)S=5π

答案：
(1)见证明过程；
(2)5π

例3 如图,AB为⊙O的直径,CD为弦,CE⊥CD交AB于点E,DF⊥CD交AB于点F.求证:AE=BF.

解:作OH⊥CD于H
∴CH=DH
又∵OH//CE
OE=OF
又∵OA=OB
∴AE=BF

答案： 证明：作OH⊥CD于H，
∵OH过圆心O，
∴CH=DH（垂径定理）。
∵CE⊥CD，DF⊥CD，OH⊥CD，
∴CE//OH//DF（垂直于同一直线的两条直线平行）。
∵CH=DH，
∴OE=OF（平行线分线段成比例定理）。
∵AB为⊙O的直径，
∴OA=OB（同圆半径相等）。
∵OA-OE=OB-OF，
∴AE=BF。

1. 如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D.若⊙O的半径为5,AB=8,则CD的长是(A)

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： A

2. 如图,⊙O的直径AB⊥CD于点E,则下列结论有可能错误的是(B)

A.CE=DE
B.AE=OE
C.⌢BC=⌢BD
D.△OCE≌△ODE

答案： B

3. 如图,AB为圆O的直径,BC为圆O的一条弦,自点O作BC的垂线,交BC于点D.若AB=16,BC=12,则△OBD的面积为$$6\sqrt{7}$.$

答案： $6\sqrt{7}$

4. 如图,已知⊙O的半径为6 cm,弦AB与直径CD垂直,且将CD分成1:3两部分.求弦AB的长.

解$:AB=2AE=6\sqrt{3}$

答案：
∵⊙O半径为6cm，
∴直径CD=12cm，CO=OD=6cm。
AB⊥CD于E，由垂径定理得AE=EB。
AB将CD分成1:3两部分，
∴CE=3cm，ED=9cm或CE=9cm，ED=3cm。
当CE=3cm时，OE=CO-CE=6-3=3cm；当CE=9cm时，OE=CE-CO=9-6=3cm，即OE=3cm。
在Rt△AOE中，OA=6cm，OE=3cm，由勾股定理得AE=√(OA²-OE²)=√(6²-3²)=√27=3√3cm。
∴AB=2AE=2×3√3=6√3cm。
答：弦AB的长为6√3cm。

5. 如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为$$2\sqrt{15}$.$

答案： $2\sqrt{15}$

6. 如图,⊙O的两条弦AB,CD互相垂直,垂足为E,且AB=CD.已知CE=1,ED=3.求⊙O的半径.

解$:r=\sqrt{5}$

答案： r=√5