《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

1.结合上图想一想,要判定一个平行四边形是菱形,除根据定义判定外,还有其他的判定方法吗?

答案： 除定义外，菱形的判定方法：
1. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
2. 四条边相等的四边形是菱形。

2.要想判定一个四边形是菱形,有哪些判定方法?
(1)菱形的判定方法一：对角线垂直的平行四边形是菱形.
已知:四边形$ABCD$为平行四边形,对角线$AC、BD$互相垂直且交于点$O$.
求证:$□ ABCD$为菱形.

证明:证全等.
(2)菱形的判定方法二：四边相等的四边形是菱形.
已知:$AB=BC=CD$$=DA$,
求证:四边形$ABCD$为菱形.

证明:回归定义(先证平行四边形).

答案： 对角线垂直; 证全等.; 四边相等的四边形是菱形; 回归定义(先证平行四边形).

3.请用尺规作$□ ABCD$.
如图,分别以$A,C$为圆心,以大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径作弧,两条弧分别相交于点$B,D$,依次连接$A,B,C,D$,四边形$ABCD$看上去是菱形.

答案： 由题意得：$AB = BC = CD = AD$（理由如下：）
以点$A$、$C$为圆心，以大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径作弧，两条弧分别相交于点$B$、$D$。
根据作图过程可知：
$AB = AD$，$CB = CD$（到两个圆心的距离相等）。
同时，由于$AC$为两个圆的公共弦，
根据圆的性质，$AC$垂直于$BD$，且$AC$平分$BD$（垂直平分线的性质）。
由于$AB = AD$，$CB = CD$，且$AC$垂直于$BD$并平分$BD$，
根据菱形的性质（四条边相等的四边形是菱形，或对角线互相垂直且平分的四边形是菱形），
可以得出四边形$ABCD$是菱形。
依次连接$A$、$B$、$C$、$D$，得到四边形$ABCD$是菱形。

4.菱形的判定方法

(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形.
如图,在$□ ABCD$中,若$AD \perp AB$,则四边形$ABCD$是菱形.
(2)对角线相互垂直的平行四边形是菱形.
如图,在$□ ABCD$中,若$AC \perp BD$,则四边形$ABCD$是菱形.
(3)四边相等的四边形是菱形.
如图,在四边形$ABCD$中,若$AD=DC=$$CB=BA$,则四边形$ABCD$是菱形.

答案： 相等; $AD \perp AB$; 相互垂直; $AC \perp BD$; 四边相等; $AD=DC=$$CB=BA$

例1 如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$与$BD$相交于点$O$,$AB=\sqrt{5}$,$OA=2$,$OB=1$.求证:$□ ABCD$是菱形.

证明:在$\triangle AOB$中,$AB=$$\sqrt{5}$,$OA=2$,$OB=1$,
$\therefore AO^{2}+OB^{2}=2^{2}+1=5$,
又$\because AB^{2}=(\sqrt{5})^{2}=5$,
$\therefore AO^{2}+OB^{2}=AB^{2}$,
$\therefore \angle AOB=90^{\circ}$,
$\therefore AC\perp BD$;
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore □ ABCD$是菱形.

答案： 在$\triangle AOB$中,$AB=$$\sqrt{5}$,$OA=2$,$OB=1$,
$\therefore AO^{2}+OB^{2}=2^{2}+1=5$,
又$\because AB^{2}=(\sqrt{5})^{2}=5$,
$\therefore AO^{2}+OB^{2}=AB^{2}$,
$\therefore \angle AOB=90^{\circ}$,
$\therefore AC\perp BD$;
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore □ ABCD$是菱形.