《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

1. 相似三角形的性质:相似三角形的对应角 相等,对应边 成比例.

答案： 相等; 成比例

2. 相似三角形对应高的比等于 相似比;相似三角形对应中线的比等于 相似比;相似三角形对应角平分线的比等于 相似比.

答案： 相似比; 相似比; 相似比

1. 两个相似三角形的相似比为2:3,它们的对应中线的比是 2:3,对应高的比是 2:3.

答案： 2:3; 2:3

2. 两个相似三角形的对应高的比为3:5,它们的对应角平分线的比是 3:5,相似比是 3:5.

答案： 3:5; 3:5

3. 两个相似三角形两条对应边长分别是6和8,它们对应的两条角平分线的和为42,那么这两条角平分线的长分别是 18,24.

答案： 18,24

例1 如图,已知△ABC∽△DEF,AM,DN是对应中线.求证:$\frac{AM}{DN}=\frac{AB}{DE}$.

证:证△ABM∽△DEN

答案： 证明：
因为$\triangle ABC\sim\triangle DEF$，
所以$\angle B = \angle E$，$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$。
又因为$AM$，$DN$是对应中线，
所以$BM=\frac{1}{2}BC$，$EN = \frac{1}{2}EF$，
则$\frac{BM}{EN}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}EF}=\frac{BC}{EF}$，
所以$\frac{AB}{DE}=\frac{BM}{EN}$。
在$\triangle ABM$和$\triangle DEN$中，
$\begin{cases}\angle B=\angle E\\frac{AB}{DE}=\frac{BM}{EN}\end{cases}$
根据相似三角形的判定定理“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，
可得$\triangle ABM\sim\triangle DEN$。
所以$\frac{AM}{DN}=\frac{AB}{DE}$。

变式 如例1图,已知△ABC∽△DEF,AM,DN是对应角平分线.求证:对应角平分线AM,DN的比等于相似比.
证:证△ABM∽△DEN

答案： 证明：
因为 $\triangle ABC \sim \triangle DEF$，
根据相似三角形的性质，有$\angle BAC = \angle EDF$，$\frac{AB}{DE} =\frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF} = 相似比（设为k）$。
因为$AM,DN$分别是$\angle BAC$，$\angle EDF$的角平分线，
所以$\angle BAM = \frac{1}{2} \angle BAC$，$\angle EDN = \frac{1}{2} \angle EDF$，
所以$\angle BAM = \angle EDN$。
根据相似三角形的判定定理中的角角判定，
在$\triangle ABM$与$\triangle DEN$中，
因为$\angle B = \angle E$，$\angle BAM = \angle EDN$，
所以$\triangle ABM \sim \triangle DEN$。
根据相似三角形的对应边成比例，有$\frac{AM}{DN} = \frac{AB}{DE} =k$。
因此，对应角平分线$AM$和$DN$的比等于相似比$k$。

例2 如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120 mm,高AD=80 mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,求这个正方形零件的边长.

解:48(mm)

答案： 设正方形零件的边长为$ x \, mm $，正方形为$ PQMN $，其中$ Q $、$ M $在$ BC $上，$ P $在$ AB $上，$ N $在$ AC $上，$ PQ \perp BC $，$ MN \perp BC $，则$ PQ = MN = QM = x $，$ PN // BC $，$ PN = x $。
因为$ PN // BC $，所以$ \triangle APN \sim \triangle ABC $（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似）。
$ \triangle APN $的高为$ AE = AD - ED = 80 - x $（$ ED = x $为正方形边长），$ \triangle ABC $的高为$ AD = 80 \, mm $。
由相似三角形对应高的比等于相似比，得：
$\frac{AE}{AD} = \frac{PN}{BC}$
即：
$\frac{80 - x}{80} = \frac{x}{120}$
解方程：
$120(80 - x) = 80x$
$9600 - 120x = 80x$
$200x = 9600$
$x = 48$
答：这个正方形零件的边长为$ 48 \, mm $。

变式 如例2图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120 mm,高AD=80 mm.要把它加工成矩形零件,使矩形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,且PN=2PQ.求PN的长度.

解:$\frac{480}{7}$ (mm)

答案： 设PQ=x，则PN=2x。
∵四边形PQMN是矩形，PN//BC，
∴△APN∽△ABC。
∵AD是△ABC的高，AD=80mm，
∴△APN的高为AD-PQ=80-x。
相似三角形对应高的比等于相似比，
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{80-x}{AD}$，即$\frac{2x}{120}=\frac{80-x}{80}$。
解得$x=\frac{240}{7}$。
∴PN=2x=2×$\frac{240}{7}=\frac{480}{7}$(mm)。
答：PN的长度为$\frac{480}{7}$mm。

1. 两个相似三角形对应高之比为1:2,那么它们对应中线之比为（ A）

A.1:2
B.1:3
C.1:4
D.1:8

答案： A

2. 在△ABC中,AB=12,BC=18,CA=24,另一个和它相似的△DEF最长的一边是36,则△DEF最短的一边是（ B）

A.72
B.18
C.12
D.20

答案： B