《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

6.在平面直角坐标系中,四边形$ABCD$的顶点$A,B,C,D$的坐标依次为$(-1,0)$,$(x,y)$,$(-1,5)$,$(-7,z)$.求$x,y,z$的值,使得四边形$ABCD$是菱形.
解:$x=5$,$y=z=\frac{5}{2}$.

答案： $x=5$,$y=z=\frac{5}{2}$.

7.你能用如图所示的锐角三角形纸片$ABC$折出一个菱形,使$\angle A$为菱形的一个内角吗?
解:如图:
如图1:作$\angle BAC$的平分线交$BC$于点$E$,再作$\angle AEF=\angle AED=\angle BAE$,
如图2:先沿$AE$折叠,使$AB$与$AC$,再沿$DF$折叠,使$A$与$E$重合；
菱形$ADEF$即为所求.

答案： 如图:
如图1:作$\angle BAC$的平分线交$BC$于点$E$,再作$\angle AEF=\angle AED=\angle BAE$,
如图2:先沿$AE$折叠,使$AB$与$AC$,再沿$DF$折叠,使$A$与$E$重合；
菱形$ADEF$即为所求.

如图,在等腰$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于点$D$,在线段$AD$上取任意一点$P$(点$A$除外),过点$P$作$EF// AB$,分别交$AC$,$BC$于点$E$,$F$,作$PQ// AC$,交$AB$于点$Q$,连接$QE$.
(1)求证:四边形$AEPQ$为菱形；
(2)当点$P$在何处时,菱形$AEPQ$的面积为四边形$EFBQ$面积的一半?

(1)证明:$\because EF// AB$,$PQ// AC$,
$\therefore$ 四边形$AEPQ$为平行四边形,
$\therefore \angle BAD=\angle EPA$,
$\because AB=AC$,$AD$平分$\angle CAB$,
$\therefore \angle CAD=\angle BAD$,
$\therefore \angle CAD=\angle EPA$,
$\therefore EA=EP$,
$\therefore$ 四边形$AEPQ$为菱形.
(2)解:$P$为$EF$中点,即$AP=\frac{2}{3}AD$时,$S_{菱形AEPQ}=$$\frac{1}{2}S_{四边形EFBQ}$

$\because$ 四边形$AEPQ$为菱形,
$\therefore AD\perp EQ$,
$\because AB=AC$,$AD$平分$\angle BAC$,
$\therefore AD\perp BC$,
$\therefore EQ// BC$,
又$\because EF// AB$,
$\therefore$ 四边形$EFBQ$为平行四边形.
作$EN\perp AB$于$N$,如图所示:
则$S_{菱形AEPQ}=EP\cdot EN=\frac{1}{2}EF\cdot EN=\frac{1}{2}S_{四边形EFBQ}$

答案：
$\because EF// AB$,$PQ// AC$,
$\therefore$ 四边形$AEPQ$为平行四边形,
$\therefore \angle BAD=\angle EPA$,
$\because AB=AC$,$AD$平分$\angle CAB$,
$\therefore \angle CAD=\angle BAD$,
$\therefore \angle CAD=\angle EPA$,
$\therefore EA=EP$,
$\therefore$ 四边形$AEPQ$为菱形.; $P$为$EF$中点,即$AP=\frac{2}{3}AD$时,$S_{菱形AEPQ}=$$\frac{1}{2}S_{四边形EFBQ}$

$\because$ 四边形$AEPQ$为菱形,
$\therefore AD\perp EQ$,
$\because AB=AC$,$AD$平分$\angle BAC$,
$\therefore AD\perp BC$,
$\therefore EQ// BC$,
又$\because EF// AB$,
$\therefore$ 四边形$EFBQ$为平行四边形.
作$EN\perp AB$于$N$,如图所示:
则$S_{菱形AEPQ}=EP\cdot EN=\frac{1}{2}EF\cdot EN=\frac{1}{2}S_{四边形EFBQ}$

当平行四边形的一个角为直角时,这样的平行四边形是一个特殊的平行四边形.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形.
有1个角为90°的平行四边形叫做矩形.

答案： 1个角为90°

1. 矩形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它是中心对称图形吗？对称中心是什么？

答:是,2条;是,对角线交点.

答案： 是,2条;是,对角线交点.

2. 矩形除了具有一般平行四边形的一切性质,还具有哪些特殊性质？请你找一找.
性质1:矩形的4个角是直角.
性质2:矩形的对角线相等.
矩形性质1 证明：如图,已知矩形 ABCD 中的∠ABC 为直角,求证:矩形的其他三个角也为直角.证明:对角互补.
矩形性质2 证明：如图,已知 AC,BD 是矩形 ABCD 的对角线,求证:AC=BD.证明:可证△ADC≌△BCD(SAS)

答案： 4; 对角线; 对角互补.; 可证△ADC≌△BCD(SAS)