《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

例2 已知关于x的方程:x² - (6 + m)x + 9 + 3m = 0.
(1)求证:无论m为何值,方程都有实数根;
(2)若该方程的两个实数根恰是斜边为5的直角三角形的两直角边的长,求m的值;
(3)若该方程的两个实数根为面积等于6√3的平行四边形的两条对角线的长,且对角线的一个夹角为60°,求m的值.
解：(1)Δ = m² ≥ 0
(2)m = 1
(3)m = 5

答案：
(1)
对于方程$x^{2}-(6 + m)x + 9+3m = 0$，其判别式$\Delta=(6 + m)^{2}-4(9 + 3m)$
$\Delta=36+12m+m^{2}-36 - 12m=m^{2}\geqslant0$
所以无论$m$为何值，方程都有实数根。
(2)
设方程的两根为$x_1$，$x_2$，由根与系数关系得$x_1 + x_2=6 + m$，$x_1x_2=9 + 3m$。
因为$x_1$，$x_2$是直角三角形的两直角边，根据勾股定理$x_1^{2}+x_2^{2}=25$，即$(x_1 + x_2)^{2}-2x_1x_2=25$。
$(6 + m)^{2}-2(9 + 3m)=25$
$36+12m+m^{2}-18 - 6m=25$
$m^{2}+6m - 7 = 0$
$(m + 7)(m - 1)=0$
解得$m_1=-7$，$m_2 = 1$。
当$m=-7$时，方程为$x^{2}+x - 12=0$，$(x + 4)(x - 3)=0$，$x_1=-4$（舍去），$x_2 = 3$。
当$m = 1$时，方程为$x^{2}-7x + 12=0$，$(x - 3)(x - 4)=0$，$x_1 = 3$，$x_2 = 4$。
所以$m = 1$。
(3)
设方程的两根为$x_1$，$x_2$，由根与系数关系得$x_1 + x_2=6 + m$，$x_1x_2=9 + 3m$。
因为平行四边形两条对角线长为$x_1$，$x_2$，且对角线夹角为$60^{\circ}$，面积为$6\sqrt{3}$。
根据平行四边形面积公式$S=\frac{1}{2}x_1x_2\sin60^{\circ}$，已知$S = 6\sqrt{3}$，则$\frac{1}{2}x_1x_2\sin60^{\circ}=6\sqrt{3}$。
$\frac{1}{2}x_1x_2×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$
$x_1x_2 = 24$
即$9 + 3m=24$，
$3m=15$，
解得$m = 5$。
综上，答案依次为：
(1)证明过程如上述；
(2)$m = 1$；
(3)$m = 5$。

例3 已知关于x的一元二次方程x² - 2x + m - 1 = 0.
(1)当m取何值时,这个方程有两个不相等的实数根?
(2)若方程的两根都是正数,求m的取值范围；
(3)设x₁,x₂是这个方程的两个实数根,且1 + x₁x₂ = x₁² + x₂²,求m的值.
解：(1)m ＜ 2
(2)1 ＜ m ≤ 2
(3)m = 2

答案：
(1)
对于一元二次方程$x^{2}-2x + m - 1 = 0$，其中$a = 1$，$b=-2$，$c = m - 1$，
根据判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，可得$\Delta=(-2)^{2}-4(m - 1)$
要使方程有两个不相等的实数根，则$\Delta＞0$，
即$(-2)^{2}-4(m - 1)＞0$，
$4-4m + 4＞0$，
$8-4m＞0$，
$4m＜8$，
解得$m＜2$。
(2)
由根与系数的关系得$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=2$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=m - 1$。
因为方程的两根都是正数，所以$\begin{cases}\Delta=(-2)^{2}-4(m - 1)\geqslant0\\x_{1}x_{2}=m - 1＞0\end{cases}$
由$\Delta\geqslant0$得$4-4m + 4\geqslant0$，$8-4m\geqslant0$，$m\leqslant2$；
由$m - 1＞0$得$m＞1$。
所以$m$的取值范围是$1＜m\leqslant2$。
(3)
已知$x_{1}+x_{2}=2$，$x_{1}x_{2}=m - 1$。
因为$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$，
又$1 + x_{1}x_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$，
所以$1+x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$，
将$x_{1}+x_{2}=2$，$x_{1}x_{2}=m - 1$代入上式得：
$1+(m - 1)=2^{2}-2(m - 1)$
$m=4-2m + 2$
$3m=6$
解得$m = 2$。
综上，答案依次为：
(1)$m＜2$；
(2)$1＜m\leqslant2$；
(3)$m = 2$。

例4 已知关于x的一元二次方程x² - 2kx + k² - k + 1 = 0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)若k和原方程的两个实数根都是整数,且k ＜ 5,求k的值.
解：(1)∵关于x的一元二次方程x² - 2kx + k² - k + 1 = 0有两个不相等的实数根.
∴Δ = (-2k)² - 4(k² - k + 1) ＞ 0,
∴k ＞ 1；
(2)∵k为整数,且1 ＜ k ＜ 5,
∴k = 2,3,4,
当k = 2时,原方程为x² - 4x + 3 = 0,
解得x₁ = 3.x₂ = 1符合题意.
当k = 3时,原方程为x² - 6x + 7 = 0,
此方程无整数根,不合题意,舍去.
当k = 4时,原方程为x² - 8x + 13 = 0,
此方程无整数根,不合题意,舍去.
所以k的值为2.

答案： 解：
(1) 方程 $x^{2} - 2kx + k^{2} - k + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，
所以判别式 $\Delta = (-2k)^{2} - 4(k^{2} - k + 1) ＞ 0$，
即：$4k - 4 ＞ 0$，
解得：$k ＞ 1$。
(2) 已知 $k$ 为整数，且 $1 ＜ k ＜ 5$，则 $k$ 的可能取值为 $2, 3, 4$，
当 $k = 2$ 时，
原方程为 ：
$x^{2} - 4x + 3 = 0$
根据求根公式：
$x =\frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 × 1 × 3}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$
解得：
$x_{1} = 3, x_{2} = 1$（符合题意），
当 $k = 3$ 时，
原方程为：
$x^{2} - 6x + 7 = 0$
根据求根公式：
$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 × 1 × 7}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$
此方程无整数根（不合题意，舍去），
当 $k = 4$ 时，
原方程为：
$x^{2} - 8x + 13 = 0$
根据求根公式：
$x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 × 1 × 13}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 52}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{12}}{2} = 4 \pm \sqrt{3}$
此方程无整数根（不合题意，舍去），
综上，$k$ 的值为 $2$。

1. 以方程x² + 2x - 3 = 0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是(B)

A.y² + 5y - 6 = 0
B.y² + 5y + 6 = 0
C.y² - 5y + 6 = 0
D.y² - 5y - 6 = 0

答案： B

2. 如果x₁,x₂是两个不相等的实数,且满足x₁² - 2x₁ = 1,x₂² - 2x₂ = 1,那么x₁·x₂等于(D)

A.2
B.-2
C.1
D.-1

答案： D

3. 已知关于x的一元二次方程(a + c)x² + 2bx + (a - c) = 0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x = -1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由.
解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：
∵x = -1是方程的根,
∴(a + c)×(-1)² - 2b + (a - c) = 0,
∴a + c - 2b + a - c = 0,
∴a - b = 0,
∴a = b,
∴△ABC是等腰三角形；
(2)△ABC是直角三角形.理由如下：
∵方程有两个相等的实数根,
∴Δ = (2b)² - 4(a + c)(a - c) = 0,
∴4b² - 4a² + 4c² = 0,
∴a² = b² + c²,
∴△ABC是直角三角形.

答案： 解：
(1)
∵ $x = -1$ 是方程的根，
∴ $(a + c) × (-1)^2 + 2b × (-1) + (a - c) = 0$，
∴ $a + c - 2b + a - c = 0$，
∴ $2a - 2b = 0$，
∴ $a = b$，
∴ $\bigtriangleup ABC$ 是等腰三角形。
(2)
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ $\Delta = (2b)^2 - 4(a + c)(a - c) = 0$，
∴ $4b^2 - 4(a^2 - c^2) = 0$，
∴ $4b^2 - 4a^2 + 4c^2 = 0$，
∴ $a^2 = b^2 + c^2$，
∴ $\bigtriangleup ABC$ 是直角三角形。

4. 已知α,β是方程x² - 2x - 2022 = 0的两个实数根,则α² - 4α - 2β - 2的值是(A)

A.2016
B.2018
C.2022
D.2024

答案： A