《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

7. 如图,过点P的两条直线交⊙O于A,B,C,D四点,且OP平分∠APC.
(1)求证:PB=PD;
(2)若AB=6,PB=1,OP=5,求⊙O的半径.
解:(1)∵∠1=∠2OE⊥ABOF⊥AD∴OE=OF∴AB=CD∴BE=DF又∵PE=PF∴PB=PD
(2)⊙O的半径=3$\sqrt{2}$

答案： 解:
(1)
∵∠1=∠2OE⊥ABOF⊥AD
∴OE=OF
∴AB=CD
∴BE=DF又
∵PE=PF
∴PB=PD
(2)⊙O的半径=3$\sqrt{2}$

如图,⊙O过点A,B,圆心O在正△ABC的内部,AB=2$\sqrt{3}$,OC=1.求⊙O的半径.
解:AB=2$\sqrt{3}$CD=3CO=1OD=2OA²=OD²+AD²=7∴OA=$\sqrt{7}$

答案： 解:AB=2$\sqrt{3}$CD=3CO=1OD=2OA²=OD²+AD²=7
∴OA=$\sqrt{7}$

1. 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的 两条弧.
垂径定理推论的规律：对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也满足其他三个. ①垂直于弦；②过圆心；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 当以②③为题设时，“弦”不能是直径.

答案： 垂直于弦; 两条弧

2. 运用垂径定理的注意事项 (1)牢记基本图形及变式图形(如图). (2)半径r、弦长a和弦心距d三者的关系是 $(\frac{1}{2}a)^2 + d^2 = r^2$. 当不能用勾股定理直接计算时，要用勾股定理列方程求解.
(3)当弦是特殊的直径时，有的推论不成立.
(4)常用辅助线： 作弦心距、连半径.

答案： $(\frac{1}{2}a)^2 + d^2 = r^2$; 作弦心距; 连半径

(1)下列命题正确的是 ( D ) A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C. 弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D. 在一个圆内，平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心

答案： D

(2)下列命题正确的是 ( C ) A. 过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B. 过弦的中点的直线必过圆心 C. 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D. 弦的垂线平分弦所对的弧

答案： C