《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

2. 如果三角形一边上的中线等于该边的一半,那么这个三角形是直角三角形.

证明圆中两角相等的基本途径：
(1)利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理进行证明；
(2)利用同弧或等弧所对的圆周角相等进行证明；
(3)引进中间量进行等量代换；
(4)利用三角形相似或全等证明角相等；
(5)利用等腰三角形章节中的等边对等角证明.

答案： 直角; 圆心角; 圆周角; 等量代换; 相似或全等; 等边对等角

1. 在⊙O中,同弦所对的圆周角(C)

A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.都不对

答案： C

2. 如图,在⊙O中,弦AD=弦DC,则图中相等的圆周角有(D)

A.5对
B.6对
C.7对
D.8对

答案： D

3. 下列说法错误的是(D)

A.等弧所对的圆周角相等
B.同弧所对的圆周角相等
C.同圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
D.同圆中,等弦所对的圆周角相等

答案： D

4. 如图,⊙O的直径MN⊥AB于点P,∠BMN=30°,则∠AON=60°.

答案： 60°

5. 如图,四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点. 若∠BAD=105°,则∠DCE=105°.

答案： 105°

例1 如图,⊙O中,AB为直径,AB=10 cm,弦AC=6 cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D. 求BC,AD和BD的长.
解$:BC=8 BD=AD=5\sqrt{2}$

答案： 解$:BC=8 BD=AD=5\sqrt{2}$

变式 如图,以⊙O的直径BC为一边作等边△ABC,AB,AC交⊙O于D,E两点. 求证:BD=DE=EC.
解:∵∠C=60°且OE=OC ∴△OEC为等边三角形 同理△BDO为等边三角形 ∵AB=AC且BO=OC ∴∠BAO=∠OAC=30° AO⊥BC即∠AOC=90° ∵在Rt△AOC中:2OC=AC=AE+EC ∴AE=EC=OC 又∵BD=BO=DE ∴BD=DE=EC

答案： 解:
∵∠C=60°且OE=OC
∴△OEC为等边三角形 同理△BDO为等边三角形
∵AB=AC且BO=OC
∴∠BAO=∠OAC=30° AO⊥BC即∠AOC=90°
∵在Rt△AOC中:2OC=AC=AE+EC
∴AE=EC=OC 又
∵BD=BO=DE
∴BD=DE=EC

例2 如图,已知AB是半圆O的直径，OC⊥AB交半圆于点C,D是直线OC上一点,连接AD交半圆O于点E,连接BE,CE.
(1)求证:CE平分∠BED；
(2)当EB=ED时,求证:AE=CE.
解:(1)∵∠AEB=90° 且∠1=∠2=45° ∴∠4=180°-∠3-∠4=45° ∴CE平分∠BED (2)∠DAB=67.5 ∴∠5=∠DAB-45°=22.5 又∵∠ECA=22.5° ∴AE=CE

答案： 解:
(1)
∵∠AEB=90° 且∠1=∠2=45°
∴∠4=180°-∠3-∠4=45°
∴CE平分∠BED
(2)∠DAB=67.5
∴∠5=∠DAB-45°=22.5 又
∵∠ECA=22.5°
∴AE=CE