《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

8. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD于点E. 若BE:ED=1:3,AD=6,求：
(1)∠BAE的度数；
(2)AE的长.

证:(1)∠BAE=30°
(2)AE=3

答案： 证:
(1)∠BAE=30°
(2)AE=3

如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AD=2AB,过点O的直线与矩形的边AD,BC分别交于两点E,F. 随着E,F两点位置的改变,以A,B,C,D,E,F中的四点为顶点构成的四边形,能构成:①2个正方形；②2个矩形；③4个菱形；④无数个平行四边形. 上述结论正确的是①③④(填序号).

答案： ①③④

1. 三角形中位线定理:三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
如图,在△ABC中,若AD=DB,AE=EC,
则$$DE\underline{\underline{//}}\frac{1}{2}BC$.$

答案： 平行且等于第三边的一半; $DE\underline{\underline{//}}\frac{1}{2}BC$

2. 如图,直角三角形斜边上的中线是斜边的一半.几何语言:∵Rt△ABC中AD=DC,∴$$BD=\frac{1}{2}AC=AD=DC$.$

答案：
∵Rt△ABC中AD=DC; $BD=\frac{1}{2}AC=AD=DC$

3. n边形的内角和为180°(n-2),外角和为360°,对角线条数为$$\frac{n(n-3)}{2}$.$

答案： 180°(n-2); 360°; $\frac{n(n-3)}{2}$

1. 回顾与思考
(1)你能概述一下研究平行四边形的思路和方法吗?
(2)你能总结一下研究平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质与判定的方法吗?
(3)本章我们利用平行四边形的性质，得出了三角形的中位线定理.你能仿照这一过程,再得出一些其他几何结论吗?
(4)多边形的内角和与边数有什么关系?内角和随着边数的增加有什么变化?多边形的外角和呢?

答案：
(1)从定义出发，探究边、角、对角线的性质；通过性质的逆命题等探究判定方法；运用转化思想（如转化为三角形问题）。
(2)性质：均从边、角、对角线、对称性研究。平行四边形：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，中心对称；矩形：平行四边形性质+四个角为直角，对角线相等，轴对称；菱形：平行四边形性质+四边相等，对角线互相垂直平分且平分内角，轴对称；正方形：矩形和菱形所有性质，轴对称和中心对称。判定：平行四边形：两组对边分别平行/相等，一组对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分；矩形：有一个直角的平行四边形，对角线相等的平行四边形，三个角是直角的四边形；菱形：一组邻边相等的平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形，四边相等的四边形；正方形：既是矩形又是菱形的四边形。
(3)梯形中位线定理：梯形两腰中点的连线平行于两底，且等于两底和的一半。
(4)内角和与边数关系：内角和=(n-2)×180°（n≥3，n为整数）；内角和随边数增加变化：边数每增加1，内角和增加180°；外角和：360°（与边数无关）。