《2025年育才金典九年级数学全一册北师大版》

4.若抛物线$y = x^2 + bx + c$与x轴只有一个交点,且过点$A(m,n),B(m + 6,n)$,求n的值.

解:$n = 9$

答案： $n = 9$

5.已知抛物线$y = x^2 - (k + 1)x + k$.
(1)k为何值时,抛物线与x轴只有一个公共点？
(2)如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴的负半轴交于点C,试问：是否存在实数k,使$\triangle AOC$与$\triangle COB$相似？若存在,求出相应的k值；若不存在,请说明理由.

解:(1)$k = 1$
(2)$k = -1$

答案：
(1)$k = 1$
(2)$k = -1$

已知二次函数$y = x^2 - 2(k + 1)x + k^2 - 2k - 3$的图象与x轴有两个交点.
(1)求k的取值范围.
(2)当k取最小的整数时,求二次函数的表达式.
(3)将(2)问中求得的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分不变,得到一个新图象.请你画出这个新图象,并求出新图象与直线$y = x + m$有三个不同公共点时m的值.
解:(1)$\Delta = 4(k + 1)^2 - 4(k^2 - 2k - 3) ＞ 0$
$= 16k + 16 ＞ 0$,∴$k ＞ -1$
(2)$k = 0$
$y = x^2 - 2x - 3$
(3)m的值为1或$\frac{13}{4}$

答案：
(1)$\Delta = 4(k + 1)^2 - 4(k^2 - 2k - 3) ＞ 0$
$= 16k + 16 ＞ 0$,
∴$k ＞ -1$
(2)$k = 0$
$y = x^2 - 2x - 3$
(3)m的值为1或$\frac{13}{4}$

二次函数表达式的三种形式：
(1)一般式：$y=ax^2+bx+c$.
(2)顶点式：$y=a(x-h)^2+k$.
(3)交点式:$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a≠0)$,其中$x_1,x_2$为抛物线与x轴交点的横坐标.注意:交点式使用的前提是抛物线与x轴有交点,其对称轴为直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}$.

答案： $y=ax^2+bx+c$; $y=a(x-h)^2+k$